Miten kukaan voi väittää, että reaalilukujen joukko sisältää KAIKKI suoran pisteet?
Rationaalilukuja voidaan asettaa vierekkäin mielivaltaisen lähelle, mutta jossain pisteissä lymyää irrationaaliluku. Miten varmistaa, että reaalilukujen joukossa ei ole aukkoja: suoran jokaiseen pisteeseen löytyy reaaliluku, jonka vieressä on toinen reaaliluku, joka on siis "kiinni" edellisessä luvussa.
Rationaalilukuja voidaan asettaa vierekkäin mielivaltaisen lähelle, mutta jossain pisteissä lymyää irrationaaliluku. Miten varmistaa, että reaalilukujen joukossa ei ole aukkoja: suoran jokaiseen pisteeseen löytyy reaaliluku, jonka vieressä on toinen reaaliluku, joka on siis "kiinni" edellisessä luvussa.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Tästähän pitää huolen ns. sup-aksiooma. Eli jos epäilet, että jossain kohden olisi aukko (toisin sanoen on pienempiä lukuja ja suurempia lukuja kuin tämä kyseinen kohta, mutta tässä kyseisessä kohdassa ei ole mitään), niin jaa reaalisuora siitä kahtia. Tällöin sup-aksiooma sanoo, että "ensimmäisen osan" supremum on reaaliluku, joten ei siinä mitään aukkoa olekaan.
Mistään kiinni olemisesta ei voida puhua, sillä kahden eri reaaliluvun välissä on aina itse asiassa kokonainen jatkumo toisia reaalilukuja.
Tuolla koitetaan vain lakaista koko ongelma maton alle! Miten voidaan olla varmoja, että tuo supremum vastaa juuri sitä oletettua aukkokohtaa? Tarvitaanko jokin uusi aksiooma?
Ei tarvita muuta aksiooma. Tämä on se, jonka avulla reaaliluvut konstruoidaan. Yksinkertaisesti sovitaan, että aukkoja ei ole. Toisin sanoen keksitään aina luku tuollaiseen kohtaan, jossa "olisi" aukko.
Toinen tapa konstruoida reaaliluvut on Cauchy-jonojen avulla. Siinä tällaista "aukkokohtaa" approksimoidaan rationaalilukujonoilla ja sitten sovitaan, että, vaikka rationaalista raja-arvoa tällä jonolla ei olisi, niin sillä on raja-arvo, joka on siis uusi "keksitty" reaaliluku. Samaan reaalilukujen joukkoon myös tällä päädytään.
Tuo sup-aksiooman eli täydellisyysaksiomaan käyttö on ehkä havainnollisempi:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Reaaliluku
Joukon \mathbb{R} jokaisella epätyhjällä ylhäältä rajoitetulla osajoukolla on pienin yläraja. (Toisin sanoen, jokaisen tällaisen osajoukon ylärajojen joukossa on pienin luku.)
Tuollainen "asian sopiminen" ei todellakaan ole mikään hyvä määritelmä reaaliluvuille! Todella huonoa matematiikkaa. Nyt kun reaaliluvut ovat temppuilemalla määriteltyjä, niin ei niiden ominaisuuksia sitten edes tunneta: pitäisi kai tietää onko olemassa luokkaa, jonka mahtavuus on luonnollisten ja reaalilukujen välissä? Eli miten me todellisuudessa siirrytään rationaaliluvuista reaalilukuihin?
Eli mitä se jatkumo todellisuudessa tarkoittaa on edelleen avoin kysymys, eikä sup-aksiooma annan kuin pintapuolisen ratkaisun, joka siirtää ongelman muualle. Oma professori sanoi, ettei hän ole miettiny asiaa tuon pidemmälle ja kehoitti etsimään vastausta jostain muualta.
Joo hyvä kysymys. Tuosta kontinuumihypoteesistähän tiedetään, että sitä ei voida tietää tässä systeemissä. (Muuten, joukkohan se luokka on, jos sen mahtavuus on alle kontinyymin.)
Kuitenkin reaaliluvut (10-kantaisessa) lukusysteemissä eli numerojonoina, joissa voi desimaalipilkun jälkeen olla ääretön pätkä mitä tahansa numeroita, niin nämä ovat aika hyvä ymmärrys, että nämä ovat reaaliluvut ja ne ovat juurikin ne reaaliluvut, jotka meillä nykyisellä määritelmällä on.
Eiköhän sinun olisi aika jo oivaltaa, että matematiikka on täysin mielivaltaisiin joskin ehkä intuitiivisiin oletuksiin/sääntöihin perustuva "sääntöpeli".
Voit aivan yhtä narsistisella paatoksella (kuin kaikki muutkin matemaatikot) olettaa, että kaikilla äärettömyyksillä on sama mahtavuus vaikkapa kyhäämällä oman aksiooman.
Voin vaikkapa lanseerata oman "äärettömyysaksiooman".
Mikä tahansa ääretön joukko on mahtavuudeltaan aina ääretön ja jokaisella äärettömällä joukolla on isomorfia toiseen äärettömään joukkoon.
Sitten vaan kehittelen sellaiset "apuaksioomat", että voin sen todistaa.
Loppujen lopuksi matematiikka ei sano todellisuudesta mitään.
Ainoastaan fysiikka pystyy antamaan tarkimman todellisuuden kuvauksen ja eritoten fysikaaliset empiiriset todisteet.
Voi olla, että on mahdotonta naittaa matematiikkaa vastaamaan täydellisesti empiirisiä tuloksia. Matematiikkaa ei voi perustella matematiikalla, vaan fysiikalla.
Mitäs se Gödel sanoi matematiikan todistettavuudesta? Hänhän esitteli matemaatikoille omat epätäydellisyyslausekkeensa. "Aksioomia ei voida todistaa omalla sisäisellä logiikalla".
Kannattaa tutustua Gödelin ja Cantorin ajatuksiin. Cantor oli se matemaatikko joka esitteli äärettömyyksien eri suuruuden.
Näillä palstoilla ei ole mahdolisuuksia yksityiskohtaisiin juttuihin.