Eka:
-x^6 3x^4y 9x^4 - 7x^3 - 3x^2y^2 - 9x^2y - 18x^2 - 3xy^2 - 18xy 27x y^3 18y^2 54 = 0
Aika sekavanlainen, mutta väite olisi, että tällä on vain ratkaisut (-3, 0) ja (3, 6).
Toka:
y^5= 31(y/x)^5 95(y/x)^4-10(y/x)^3 310(y/x)^2-395(y/x) 244
Tässä näyttäisi olevan jotain kaavamaisuutta. Väite on, että tällä ei ole yhtään kokonaislukuratkaisuja.
-x^6 3x^4y 9x^4 - 7x^3 - 3x^2y^2 - 9x^2y - 18x^2 - 3xy^2 - 18xy 27x y^3 18y^2 54 = 0
Aika sekavanlainen, mutta väite olisi, että tällä on vain ratkaisut (-3, 0) ja (3, 6).
Toka:
y^5= 31(y/x)^5 95(y/x)^4-10(y/x)^3 310(y/x)^2-395(y/x) 244
Tässä näyttäisi olevan jotain kaavamaisuutta. Väite on, että tällä ei ole yhtään kokonaislukuratkaisuja.
Vastaukset 16
Vanhimmat
Eikö ensimmäisen yhtälön kokonaislukuratkaisuksi kävisi myös (-2,-4)?
Oho, joo tuo on myös. Muita ei sitten pitäisi olla...
Onko tämä joku otaksuma vai läksy? Selvästikään et ole itse tutkinut tehtävää kovinkaan paljoa itse.
Se on totta. Keksin sen itse. Tuo vain vahingossa unohtui. Ei ole läksy. Laitoin vain tänne puzzleksi.
Tuosta ekasta laskin, että käyrän genus on yksi. Saisikohan nuo kokonaislukupisteet elliptisten käyrien teorian avulla? En kyllä tiedä, miten käyrä muunnettaisiin Weierstrassin muotoon.
Laitetaanpa vielä kolmas (ehkä vähän helpompi, tai alempaa astetta ainakin):
27y^3 - 8x^3 18x^2y 18xy^2 = 0
Väite: tällä on vain triviaali ratkaisu (0, 0).
Tällaiset ovat Thuen yhtälöitä. Niille on olemassa ratkaisualgoritmi, mutta en ole tutustunut siihen. Eli varmaan ainakin Sagella voit ratkaista tämän. Googlella varmaan löytyy ohjeet ohjelmaan.
Tarkastellaanpas tätä yhtälöä
27y^3 - 8x^3 18x^2y 18xy^2 = 0
hiukan tarkemmin.
Merkitsemällä r=y/x ts. y=rx saamme yhtälön muotoon
x^3*(27r^3 18r^2 18r - 8) = 0
ts.
27r^3 18r^2 18r - 8 = 0
Jos x ja y ovat kokonaislukuja, niin r on rationaaliluku.
Helposti huomataan, että polynomin p(r)=27r^3 18r^2 18r – 8 derivaatta on aina positiivinen ja yhtälöllä p(r)=0 on täsmälleen yksi reaalinen ratkaisu.
Tälle ratkaisulle voidaan laskea mielivaltaisen tarkkoja numeerisia likiarvoja tai tarkka algebrallinen esitys. Algebrallinen esitys sisältää juurilausekkeita, joiden vuoksi rationaalisuuden päättäminen voi olla hankalaa. Ratkaisun r rationaalisuutta voidaan tarkastella ketjumurtokehitelmien avulla. Rationaaliluvun ketjumurtokehitelmä on päättyvä.
Eikö tuo rationaalisuus mene helpoiten sivulla http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/yhtalot/yhtal04.htm olevan määritelmä 9:n perusteella?
Aivan oikein. Ratkaisu voisi siis lähteä seuraavasti.
Jos luvuilla x ja y on yhteinen tekijä, se voidaan yhtälöstä jakaa pois.
Oletetaan siis, että syt(x,y)=1, ts. x ja y ovat keskenään jaottomia.
Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoihin
27y^3=x(8x^2-18xy-18y^2) ja
8x^3=y(27y^2 18x^2 18xy).
Koska x ja y ovat keskenään jaottomia
x jakaa tasan luvun 27=3^3 ja
y jakaa tasan luvun 8=2^3.
Saadaan siis äärellinen määrä ratkaisumahdollisuuksia, jotka voidaan kaikki yksi kerrallaan kokeilla.
Toinen mahdollisuus on laskea tästä ylärajat osoittajan ja nimittäjän itseisarvoille. Kun ketjumurtokehitelmän antaman rationaalilukuapproksimaation osoittaja ja nimittäjä itseisarvoltaan ylittävät nämä rajat, on tehtävä loppuun suoritettu.
Hyvä ratkaisu. Ajattelinkin, että tähän voisi lähteä jollain toisella lähestymistavalla kuin se mistä itse sen alunperin keksinkin. Oman ratkaisuni idea on siis sama kuin tuossa toisen yhtälön tapauksessa, eli muokataan yhtälö Fermat'n suuren lauseen muotoon:
(x 3y)^3 = (2x-y)^3 (x y)^3
Vähän hankalahan tuo muoto on varmaan arvata, jos ei ennalta tiedä. Onko muuten olemassa jotain yleisiä keinoja, joilla näkisi voidaanko yhtälö muokata tähän (tai johonkin toiseen haluttuun) muotoon? Tietysti kokeilemalla kertoimia noille sisäfunktioille, jos arvaa, että ne ovat lineaarisia. Tuossa saattaisi tietenkin arvata noista luvuista 27 ja 8, että siellä saattaisi olla 3y ja 2x (tai oikeastaan hyvä tuuri vaan, kun nuo muut ylemmän asteen termit kumoutuvat).
Keksittekö tuota viimeistä (tai siis ensimmäistä)? Varmaan arvaatte, että siinä on sama idea :-D.
No ainakin tässä tapauksessa tapauksessa on äärellisen monta vaihtoehtoa. Polynomi on muotoa P(x,y)^n Q(x,y)^n=Z(x,y)^n. Nyt polynomin aste ja n rajoittaa etsimään identiteetin, jos oletetaan, että kertoimet ovat kokonaislukuja. Yleistä tapaa sanoa, onko kaksi yhtälöä identtiset, ei varmaan ole. Muuten vaikkapa Riemannin hypoteesin voisi ratkaista kirjoittamalla se suurinpiirtein muotoon x yz=1/2 ai.
Kannattaa lukea algebrallista- ja aritmeettista geometriaa sekä algebrallista lukuteoriaa, jos polynomiyhtälöiden kokonaislukupisteiden etsiminen kiinnostaa. Alkuun päässee kirjoilla Jürgen Neukirch: Algebraic Number Theory ja Qing Liu: Algebraic Geometry and Aritmetic Curves. Myös joku sopiva lukukuntien oppikirja voi olla hyvä osata. Mitään yksittäistä kaikenkattavaa ideaa noista kirjoista ei löydä eikä sitä olekaan Matiasevicin lauseen perusteella, mutta algebrasta löytyy monia menetelmiä, joita voi sitten koettaa soveltaa tilanteen mukaan.
Lisäksi ainakin Magma, Pari/gp ja Sage auttavat suorittamaan joitakin tylsiä mekaanisia laskuja.
Annetaanpa vihjeeksi ratkaisu tuohon Tokaan yhtälöön. Sitä voidaan muokata:
(xy)^5= 31y^5 95y^4x-10y^3x^2 310y^2x^3-395yx^4 244x^5
= 243x^5 - 405x^4y 270x^3y^2 - 90x^2y^3 15xy^4 - y^5
x^5 10x^4y 40x^3y^2 80x^2y^3 80xy^4 32y^5
= (3x - y)^5 (x 2y)^5
Fermat'n suuren lauseen mukaan yhtälöllä a^5 b^5 = c^5 ei ole epä-triviaaleja ratkaisuja. Kun triviaaleja ratkaisuja koitetaan, niin huomataan, että mikään ei toimi.
Tuota, miten (xy)^5=(3x-y)^5 (x 2y)^5? Jos nimittäin x=1, y=0, saadaan 0=3^5 1^5=244.
Siis alkuperäinen yhtälö saadaan muokattua tuohon muotoon, se ei ole tosi kaikilla x ja y.
Ensimmäinen yhtäsuuruusmerkki on alkuperäisen yhtälön muokkaus. Toinen ja kolmas ovat sitten oikean puolen muokkausta.
Ahaa. Eka on muotoa (y-x^2 3)^3 (y-2x)^3 (3 x-y)^3=0. Joku lausekkeista pitää olla nolla, eli y=2x tai y=x^2-3 tai y=2 x. Jatkakaa tästä.