Jos pitäisi vuohipukki kiinnittää pyöreän pellon reunalla olevaan puutappiin narulla siten, että vuohi pääsee syömään vain puolet pellon pinta-alasta. Kuinka pitkä naru saa olla pellon halkaisijaan verrattuna?
Maatalousaiheinen kysymys
Seniori1
9204
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Ennen kuin saivartelijat ehtivät, täsmennetään niin että kuinka pitkä etäisyys tapista vuohen turpaan saa enintään olla.
Tehtävä on periaatteellinen. Naru ylettyy niin pitkälle kuin vuohi voi purra ruohoa. Eli siis vuohen sallittu liikerata määrää narun pituuden. Narun pituutta ei ole määrätty muuten kuin, että se on suhteessa pellon halkaisijaan.
Olkoon narun pituus r. Asetetaan tolppa origoon O ja pellon keskipiste pisteeseen A = (1,0). Tutkitaan vaikkapa vain ylempää puoliskoa. Nyt ympyröiden leikkauspisteessä B
x = r^2/2 ja y = ... = 1/2rsqrt(4-r^2)
Huomataan, että r:n on oltava yli 1 (ei riitä puoleen), mutta alle sqrt(2), sillä tällöin tulee jo yli puolet. Siis r^2/2 < 1 < r.
Merkataan kulmaa AOB a:lla ja kulmaa OAB b:llä. Tällöin
cos(a) = r/2 ja cos(b) = 1-r^2/2
Syötävästä alasta puolet on nyt
pir^2*a/(2pi) pi*b/(2pi) - 1/2*1*y
= r^2/2*acos(r/2) 1/2acos(1-r^2/2) - 1/4rsqrt(4-r^2)
Tämän pitäsi siis olla pi/4 (puolet puolesta 1-säteisestä ympyrästä).
Ratkaisun likiarvoksi saadaan r = 1,15872847301812.
Laitoin plussan, vaikket itse kysymykseen vastannutkaan.
Integroimalla ei tule ihan helppoja lausekkeita, vaikka Wolfram ne antaakin
En ymmärrä ratkaisua, mutta se oli aivan oikein. Säde on 1.15872847301812 ja naru on 57.936423650906 prosenttia halkaisijasta. Tarkistin omalla tökeröllä algoritmillisella tavallani:
http://petke.info/ympyhtalat.r
Tästä saisi kivan lisätehtävän. Otetaan ympyrä C, jonka säde on 1 ja piste A ympyrän sisältä, jonka lyhin etäisyys ympyrän kehältä on d. Mikä on oltava A-keskisen ympyrän säde d:n lausekkeena, jotta A-keskisen d-säteisen ympyrän ja C:n yhteisen alueen ala on 1/2?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi/180(asin(y/x)*(x^2) asin(y))-(x z)y=pi/2 , y=sqrt(x^2-((2z-z^2-x^2)/(2z-2))
Tossa noita yhtälöitä olisi: x=R ja z=d, ei jaksa Wolfram laskea.
Siinä on muuten oletettu, että yhteisen alueen ala olisi ½*C-ympyrän ala, eli pi/2
Kolmas maatalousaiheinen kysymys: Kuinka pitkin välein perunoita istutetaan ?
Suomessa yleensä noin vuoden välein.