Minulla olisi seuraavanlainen ongelma:
Pankkiiri sijoittaa tammikuun alussa summan arvopaperiin. Sijoituksen vuosikorko on 12%. Heinäkuun alussa hän sijoittaa kaksi kertaa niin suuren summan kuin tammikuussa. Vuoden lopussa hän nostaa sijoitukset korkoineen ja saa näin takaisin 48600 euroa. Minkä summan pankkiiri sijoitti tammikuussa?
Eli miten tuota voisi lähteä ratkaisemaan?
Pankkiiri sijoittaa tammikuun alussa summan arvopaperiin. Sijoituksen vuosikorko on 12%. Heinäkuun alussa hän sijoittaa kaksi kertaa niin suuren summan kuin tammikuussa. Vuoden lopussa hän nostaa sijoitukset korkoineen ja saa näin takaisin 48600 euroa. Minkä summan pankkiiri sijoitti tammikuussa?
Eli miten tuota voisi lähteä ratkaisemaan?
Vastaukset 6
Vanhimmat
1,12* x 1,06 *(2x) = 48600.
1,06 tulee siitä, että jäljellä oleva aika on puoli vuotta, jolloin siis korko puolet vuosikorosta.
Kun pankkiiri tekee sijoituksensa, niin kaiketi hä tietää paljonko sijoittaa, joten koko tehtävä on typerä. Mutta saahan tästä matemaattista voimistelua.
Huomaa toki, että pankkien korkoa ei makseta "korkoa korolle" periaatteella kun talletusaika on alle vuosi vaan korko maksetaan koko vuoden korolla kerrottuna sillä osuudella kun vuodesta on kulunut, esim. jos raha makaa 3kk 5% tilllä niin korkoa maksetaan 3/12 x 5%. Kun korot ovat pieniä niin tämä rahasumma on lähes sama kuin se mikä tulisi maksaa matemaattisesti oikein perustein joka olisi
1,05 potenssiin 3/12 = 1,01227 (1,0125 on se kerroin jolla pankki maksaa)
Jos aika on vaikkapa 9kk saadaan
1,05 potenssiin 9/12 = 1,037 (1,0375 minkä pankki maksaa)
Seuraavaksi voit pohtia millainen koron pitää olla että asiakas hyötyy kun talletusaika on alle vuoden ja milloin pankki.
Mikä tuo "matemaattisesti oikein perustein" -asian pointti on
Eihän esittämäsi kaltaista kaavaa vajaalle korkojaksolle ole johdettu missään, eli ole olemassakaan, vai?
Se on matemaattisesti jatkuva korko. Pankit eivät tosin käytä sitä missään. Pankit eivät toimi siis matemaattisesti oikeaoppisesti.
Ajatellaanpa asia vaikka toista kautta. Ajattele että jokin bakteerikanta kasvaa 5% vuosivauhtia (bakteerikanta kasvaa tasaisesti koko ajan). Toisin sanoen kanta 1,05 kertaistuu vuosittain.
Paljonko bakteerikanta on kasvanut 6kk aikana. Pankkiirin mukaan 6/12 x 5% = 2,5%.
Mikä ei tietystikään ole oikea lukema vaan oikea lukema saadaan
1,05^x, missä x on kasvuaika vuosina, ts. x=6/12=0,5 eli 1,05^0,5 tai SQRT(1,05)=1,0246950766
Eli puolessa vuodessa bakteerikanta ei olekaan kasvanut aivan niin paljon kuin pankkiiri olettaa. Pienillä "koroilla" asiassa ei ole merkitystä, mutta jos maksetaan "mafian korkoja" niin luvuilla on merkittäviä eroja.
Niin, onko jotain filosofointia, ja mukana myös viisastelun makua :)
Omana asianaan eksponenttifunktio kasvumallina monissa asioissa on toki paikallaan ja käytössä, mutta pankkimaailma on oleellisesti osa kaupallista maailmaa; esim. mikä olisi matemaattisesti oikea asuntolainen korko, matemaattisesti korrekti viinavero tai matemaattisesti oikea kahvipaketin myynnistä suotava voitto kauppiaalle?
Voisi sanoa, että matematiikan nyansseilla ei ole näissä asioissa suurtakaan määräysvaltaa, pikemminkin niin päin, että jos joku asia on yksityiskohdissaan hankala, niin asioita mieluummin yksinkertaistetaan, esim. kuukauden käsite korkolaskuissa.
Kuten itsekin mainitset, esittämiäsi ajatuksia ei sovelleta pankkien arkirutiineissa, koska kaupallisen maailman perustat (eri laskentojen suhteen) ovat sopimuksen varaisia juttuja, joita ajan mukana eri syistä halutaan muuttaa - 'luonnollisesti' ...
Voisiko sanoa, että jos ei osu maaliin, niin maalia siirretään; silloin matematiikan eri vivahteiden kanssa säädöillä ei saada mitään oleellista uutta tai merkittävää aikaan.
Niin, maailmassa tehdään paljon asioita mitkä eivät perustu matematiikkaan, kuten tuo mainitsemasi viinaveron vääntäminen, uskonnollisisita syistä vero% ei haluta sitä mikä antaisi maksimaalisen tuoton valtiolle.
Matemaattisesti oikeaoppinen olisi eksponenttifunktion käyttö korkolaskuissa, mutta pankit tätä eivät käytä. No, lainanottaja ja lainanantaja tekevät itse sopimuksen mitä pelisääntöjä käyttävät. Hyvä vertaus on mm. vaalien d'Hondtin menetelmä laskea äänet, puolue ei saa ääniä sen mukaan kuinka moni on äänestänyt vaan harmonisen sarjan alkutermeillä painotettuina äänimäärinä. Ajatus on suosia puolueita yksinäisten ehdokkaiden sijaan.
Matemaattisesti oikeaoppinen tapa olisi laskea äänimäärien osuus kertoa se maksimipaikkamäärällä (usein 14) ja jos esim. SDP saa näin paikkamääräksi 4,567, KOK 3,21 ja KEPU 6,11. Niin jokainen puolue saa paikat kokonaisosien mukaan ja loput jaetaan puolueille desimaaliosien osoittamassa suuruusjärjestyksessä. Tämä olisi matemaattisesti oikeaoppinen tapa.
Esimerkissäni SDP saa 4, KOK 3 ja KEPU 6 paikkaa, jää vielä 1 paikka ja koska desimaaliosat ovat 0,567 0,21 ja 0,11 niin viimeisen paikan saisi SDP.