Hei kaikille!
Matematiikan kokeessa ennen joululomaa tuli tällainen lauseke vastaan, ja siinä käskettiin löytämään tämän tekijät:
(x-1)^7-(x-1)^8
Todennäköisesti laskin sen väärin, ja haluaisin tietää, miten tuollaisessa tapauksessa pitäisi menetellä. Mieleeni tuli, että muuttaisin nuo potensseilla varustetut (x-1) riveiksi , eli (x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)-(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1), mutta siitä tuli niin hankala laskea, että luovutin ja skippasin koko tehtävän. Tajusin kanssa, että siinä nuo lasketaan, ei muuteta tekijöiksi.
Olisiko se, että tekisi näin:
(x-1)^7-(x-1)^8
(x-1)^7 (1-(x-1))
Koska eikös (x-1)^7 ole se yhteinen tekijä tässä tehtävässä?
Matematiikan kokeessa ennen joululomaa tuli tällainen lauseke vastaan, ja siinä käskettiin löytämään tämän tekijät:
(x-1)^7-(x-1)^8
Todennäköisesti laskin sen väärin, ja haluaisin tietää, miten tuollaisessa tapauksessa pitäisi menetellä. Mieleeni tuli, että muuttaisin nuo potensseilla varustetut (x-1) riveiksi , eli (x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)-(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1), mutta siitä tuli niin hankala laskea, että luovutin ja skippasin koko tehtävän. Tajusin kanssa, että siinä nuo lasketaan, ei muuteta tekijöiksi.
Olisiko se, että tekisi näin:
(x-1)^7-(x-1)^8
(x-1)^7 (1-(x-1))
Koska eikös (x-1)^7 ole se yhteinen tekijä tässä tehtävässä?
Vastaukset 8
Vanhimmat
Ihan oikein olet laskenut, hieman kesken vain.
(x-1)^7 ovat seitsemän yhteistä tekijää.
Mikä vielä?
No se (1-(x-1)), joka sulkujen poiston jälkeen on se kahdeksas tekijä = (2-x).
Tekijät ovat
X-1, joka on 7 kertainen
X-2 joka on 1 kertainen
Lisäksi vakio kerroin on -1
Yleisesti polynomi esitetään kertoimien avulla muodossa
a(x-x0)(x-x1)...(x-xN), missä x1, x2, ..., xN ovat polynomin nollakohdat ja a vakiokerroin.
Nyt siis on P(x)= -(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-1)(x-2)
Minusta pelkkä tekijöihin jako ei riitä tässä. Minusta esimerkiksi (x-2)*(x-1)^4 on tekijänä. Tässä pitäisi kirjoittaa polynomi ensiksi muotoon (2-x)(x-1)^7 ja sitten muodostaa näin saadusta hajotelmasta kaikki mahdolliset tulot. Siis vastaisin että tekijät ovat (-1)^m(2-x)^n(x-1)^l, missä m ja n ovat joukossa {0, 1} ja l on joukossa {0,1,2,3,4,5,6,7}.
Joo ja luvun 24 tekijät eivät sitten ole 2,2,2 ja 3 vaan 4, 6, 8 ja 12. Höpsön höpsön.
Niin luvun 24 tekijät ovat 1,2,3,4,6,8,12,24
Mutta luvun 24 (alku)tekijöihin jako on tulo 2x2x2x3
Luvun 24 alkutekijät ovat 2 ja 3
Polynomien kohdalla sen sijaan kun pyydetään tekijöitä, niin sillä tarkoitetaan nimenomaan tekijöihin jakoa. No, aina voisi olla täsmällisempi tehtävän asettaja.
Esimerkiksi Aspergeristä kärsivät ihmiset eivät ymmärrä epätäsmällisiä ilmaisuja.
"Polynomien kohdalla sen sijaan kun pyydetään tekijöitä, niin sillä tarkoitetaan nimenomaan tekijöihin jakoa."
Jaa. En ole kuullut tällaista.
Minulla on Tauno Metsänkylän ja Marjatta Näätäsen yliopiston peruskurssin lentomuistiinpanot algebrasta vuodelta 2000. Siinä kirjoitettiin näin kohdassa VI.7:
Tästedes oletetaan, että polynomien kertoimet kuuluvat kuntaan K.
...
Määritelmä. Olkoot a(x),b(x) \in K[x]. Jos on olemassa sellainen polynomi c(x) \in K[x], että a(x)=b(x)c(x), sanotaan, että polynomi a(x) on jaollinen polynomilla b(x); merkitään b(x)|a(x). Käytetään myös sanontoja: b(x) jakaa a(x):n, b(x) on a(x):n tekijä, a(x) on b(x):n monikerta.
Eli onko sinulla antaa lähdettä väitteellesi, että "Polynomien kohdalla sen sijaan kun pyydetään tekijöitä, niin sillä tarkoitetaan nimenomaan tekijöihin jakoa." kun ainakaan 14 vuotta sitten polynomin tekijät eivät tarkoittaneet tekijöihin jakoa?
Minusta tuossa koko homman liikkuma-alue on koulumatematiikka, ja kun sen puitteissa katsoo, mihin asioihin nähden (ikäänkuin ennalta erikseen) tuota tekijöihin jakoa siellä ylipäätään harjoitellaan, niin nimim. ffffs kommentti on paikallaan.
Kuten ffffs mainitsee, yleisesti ottaen voisi usein olla kielellisesti täsmällisempi, jos on epävarmuutta koko siitä viitekehyksestä, mihin tehtävän on ajateltu sijoittuvan
Minusta koskaan ei pitäisi opettaa väärin. Jos kokeessa oltaisiin testattu tuota ffffs:n tapaa määritellä tekijät, niin tehtävä olisi pitänyt muotoilla toisin. Esimerkiksi
"Esitä (x-1)^7-(x-1)^8 kahden kokonaislukukertoimisen polynomin tulona, joista kumpikaan ei ole vakio."
Mutta lipsahduksia sattuu, ja opettajallekin on voinut tulla joku ajatuskatkos tehtävää kirjoittaessa. Itselläni ei ole enää kontakteja juurikaan koulumaailmaan, joten en tiedä, miten siellä asiat opetetaan.