Tässä ois pienehko ongelma josta en oikein pääse yli.
Olkoon p alkuluku ja n kokonaisluku(suurempi tai yhtä kuin 2). Osoita että n.juuri p:stä on irrationaalinen. (eli siis p^(1/n) on irrationaalinen)
Olisin hyvin kiitollinen avusta...
Olkoon p alkuluku ja n kokonaisluku(suurempi tai yhtä kuin 2). Osoita että n.juuri p:stä on irrationaalinen. (eli siis p^(1/n) on irrationaalinen)
Olisin hyvin kiitollinen avusta...
Vastaukset 9
Vanhimmat
Oleta alkuluvun n:s juuri rationaaliseksi. Näet ristiriidan tuota pikaa, kun mietit, mitä luvun rationaalisuus tarkoittaa.
Piti oikein itsekin alkaa miettimään tehtävää. Voisitko ash johtaa ratkaisua vähän pidemmälle?
AT: p^(1/n) on rationaalinen, eli p^(1/n)=a/b, missä a/b on supistettu murtoluku jne...
Missä vaiheessa päädytään ristiriitaan?
Kyse oli siis siitä, voiko alkuluvun p n:s juuri olla rationaalinen.
Oletetaan, että p^{1/n} on rationaalinen. Löytyy siis nollasta eroavat luonnolliset luvut a ja b siten, että p^{1/n} = a/b. Voidaan olettaa, että a:lla ja b:llä ei ole ykkösestä eroavia yhteisiä tekijöitä.
Koska p^{1/n} = a/b, on p = a^n / b^n ja edelleen a^n = pb^n ja viimein a = pb^n / a^{n-1}. Kuitenkin a:n piti olla luonnollinen luku, joten viimeinen yhtälö ei voi pitää paikkaansa, ellei a ole 1. Tällöin taas saadaan 1 = pb^n, siis p ja b^n ovat toistensa käänteislukuja. Molempien piti kuitenkin olla luonnollisia lukuja ja p:n vielä lisäksi alkuluku, joten tässä on haettu ristiriita.
"viimein a = pb^n / a^{n-1}. Kuitenkin a:n piti olla luonnollinen luku, joten viimeinen yhtälö ei voi pitää paikkaansa, ellei a ole 1."
Miksi kyseinen yhtälö ei voi pitää paikkaansa muulla kuin 1:llä?
Jos a ei olisi 1, täytyisi joko p:n tai b^n:n olla jaollinen a^{n-1}:llä. Kuitenkin p on alkuluku eikä myöskään b^n voi olla jaollinen a^{n-1}:llä, sillä b ei ole jaollinen a:lla.
Yrität siis sanoa että jos vaikka luku a*b on jaollinen c:llä niin joku luvuista a tai b on välttämättä oltava jaollinen c:llä. Tämähän ei pidä paikkaansa. c:hän voi olla joku luku, joka on suurempi kuin a tai b (esim 4*3 on jaollinen 6:lla). Mahdoinkohan ymmärtää väärin todistuksesi?
.
Jaahas, törttöilen näköjään taas jaollisuuden kanssa. Korjataan:
Jos a on erisuuri kuin 1, täytyy pb^n:n olla jaollinen a^{n-1}:lla. Siis vähintään on a^{n-1}:n alkutekijöiden oltava myös pb^n:n alkutekijöitä. Kuitenkin a^{n-1}:n alkutekijät ovat tismalleen a:n alkutekijät ja pb^n:n alkutekijät ovat p:n ja b:n alkutekijät yhdessä. Aiempien oletusten takia a:lla ja p:llä ja toisaalta a:lla ja b:llä ei kuitenkaan ole yhteisiä alkutekijöitä.
Huh. Vieläkin saa korjata, jos jossain on koloja =)