Muistu mieleen vanha tehtävä, joka kai useimmille tuttu, mutta esitetään nyt kumminkin.
Oletetaan neliönmuotoinen kenttä, jonka sivut olkoon pääilmansuuntien suuntaiset.
Kentän kaakkoiskulmasta lähtee jänis juoksemaan sivua pitkin pohjoiseen, ja samaan aikaan lounaiskulmasta lähtee koira, joka juoksee suoraan kohti jänistä.
Kysymys on, mikä on oltava nopeuksien suhde, että koira saa jäniksen kiinni täsmälleen koilliskulmassa ?
Oletetaan neliönmuotoinen kenttä, jonka sivut olkoon pääilmansuuntien suuntaiset.
Kentän kaakkoiskulmasta lähtee jänis juoksemaan sivua pitkin pohjoiseen, ja samaan aikaan lounaiskulmasta lähtee koira, joka juoksee suoraan kohti jänistä.
Kysymys on, mikä on oltava nopeuksien suhde, että koira saa jäniksen kiinni täsmälleen koilliskulmassa ?
Vastaukset 17
Vanhimmat
Pikku tarkennus..
"koiraa juoksee suoraan kohti jänistä" tarkoittaako sitä, että koiran kulkema polku on suora viiva? Vai että koira kulkee koko ajan kohti jänistä, eli viivasta tulee kaareva (oikeastihan muuten koirat eivät juurikaan ennakkoa ota)?
On kaareva
pii
Jos tarkoitit, että koiran reitti on ympyränkaari ja suhde pii / 2 , niin valitettavasti se ei ole oikein.
Asian voit helposti todeta itsekin esim. kun molemmat ovat puolimatkassa, niin koira ei enää juoksisi kohti jänistä.
Vaikea vaikea..
Koiran radan tangenttisuoran(derivaatta) pitäisi kulkea jäniksen koordinaattia vastaavan pisteen kautta.
Ongelma vain on, että millainen käppyrä tuo koiran rata on.. Olisko tavallinen toisen asteen funktio... vai ehkä sittenkin eksponenttifunktio..
Vai ajattelenkohan liian vaikeasti.. pystyykö ihan maalaisjärjellä päättelemään.. ?
Alkuosa on oikein derivaatan suhteen, koiran rata on ikävä kyllä eksponenttifunktio, sen pååttelemiseen maalaisjärjellä en oikein usko, mutta laskeminen onnistuu kyllä ilman kynää kummempia apuvälineitä.
Ajattelin tuossa, että tämän täytyy olla evolventti funktio??
Osuiko sinne päinkään, mun arvaus??
Ei osunut
Periaatteessa koiran juoksu muistuttaa eksponettifunktion kuvaajaa, luulisin.
Ja tarkemmin asiaa ajateltuani tulin siihen tulokseen että likimääräisesti nopeuksien suhteen tulee olla 1.718, koska (e^1)-(e^0) on likimääräisesti tuon verran.
Mutta vastaus ei kyllä voi olla näin yksinkertainen... Oletettavasti.
Jos neliön sivun pituus on x (matka jonka jänis juoksee ajassa t). Olisiko nopeuksien suhde
(v1*t)/sqrt(x^2 v1^2*t^2), missä v1 on jäniksen nopeus ????? Tää on vaan arvaus....
Jospa merkitään siten, että f olisi tuo koiran käyttämä eksponenttifunktio (joka riippuupi neliön koosta), v1 on koiran nopeus ja v2 jäniksen nopeus.
Neliön sivun pituus onpi y.
Koska matka jaettuna nopeudella on aika (joka onpi sama molemmilla nisäkkäillä) niin...
(int 0,y(sqt(1 (f')²))dx))/v1 = y/v2
jossa "int 0,y" tarkoittaapi integraalia nollasta yyhyn.
Siellähän se vastaus on, mutta hommana on hakea se funktio koiran radalle, joka ei tuosta vielä taida selvitä.
No kokeillaanpa sellaista funktiota kuin y=2^x-1
X on tietenkin neliössä vaakasuora suunta ja y pystysuora. Tuossa ainakin pitää paikkansa kaksi tiedettyä koiran pistettä eli (0,0) ja (1,1) jos neliön sivun pituus on 1.
Jotenkin ihmeellisen oudon kummasti laskemalla sain sellaisen tuloksen kuin 1,42116*v, jossa v olisi jänön nopeus. Menikö paljon vai tosi paljon pieleen?
Meni pieleen, logiikka riittää vain siihen, että suhde on välillä 2 ja sqrt(2).
Kehottaisin lähestymään ongelmaa kuten nimim. aaaa edellä, sieltä se ratkaisu lähtee.
Taisi olla tehtävä liian helppo, vai arkuutako lie, kun vastauksia ei ole kuulunut.
Tässä kuitenkin yksi versio:
Koordinaatisto on valmiina, kun sijoitetaan origo koiran lähtöpisteeseen, ja sivun pituudeksi L
Hetkellä t , koira on pisteessä x , y , ja koiran radan tangentin pitää olla silloin y' = (vj*t - y ) / ( L - x ).
Ja koiran kulkema matka s = vk *t
Eliminoidaan yhtälöistä t , ja matka s derivoidaan x.n suhteen ja Pythagoraan mukaan termi ds/dx = sqrt(1 y'^2).
Nämä yhdistettynä tulee yhtälö sqrt(1 y'^2) / vk = (L-x)* y'' / vj .
Kevennetään vähän sijoittamalla y' = a ja vj/vk =m
- -> m * sqrt(1 a^2) =(L-x) * da/dx , joka integroituna on
arcsinh( a) = -m * ln(L-x) C
Ja kun x =0 niin a =0 , ratkaistaan C , niin
a= sinh( -m *ln( (L-x)/L) )
Jatko sujuu helpoiten Eulerin kaavaa [ sinh(z) = 1/2*(e^z -e^-z) ] soveltamalla , ja kun vielä e^ln(p) = p , niin
a = 1/2 * { (L/(L-x))^m - ((L-x)/L)^m }
Tähän palautetaan a = dy/dx ja integroidaan, niin saadaan koiran radan yhtälö
y = 1/2 * [ - (x-L) * ((L-x)/L)^-m/(m-1) -(x-L) *((L-x)/L)^m /(m 1) C2 ]
Edelleen kun x=0 niin y=0 ja C2 = -L/(m-1) - L/(m 1)
Sitten vaan paiskataan x = L ja y = L , niin joudutaan tilanteeseen
2 = -1/(m-1) - 1/(m 1)
Kun m oli vj / vk , eli kysytty suhde , niin se
taitaa olla sama kuin kultaisen leikkauksen suhde eli sqrt(5)/2 -( )1/2
Vastaus varauksella, jossain voi lymytä myös virheitä, mutta muuten aika hyvä harjotustehtävä.
Olisin alkanut homman selvittämisen vektoreilla. Missä mikin on ja minne menossa, mikä vaikuttaa saalistajan suuntaan , eli kulma jolla koira etenee kohti jänistä on riippuvainen jäniksen nopeudesta ja kulku suunnasta.
Eli mitkä ovat oleelliset tekijät... koiran nopeus, kunto, jne... massa ja voima...
Jäniksen nopeus, kunto massa ja voima...
Ja jos on kyse "todellisuudesta" niin on mukaan liitettävä tarkempi kuvaus maastosta, mietittävä eteneekö jänis todellakin suoraan vai alkaako jäniksenkin etenis suuntakulkea koirasta pois päin eli missä vaiheessa jänis huomaa koiran.
Sitten sää olotilat ja jäniksen kannalta ... miten sää olotila vaikuttaa siihen miten pian jänis kuulee missä koira on...
Ja koira, koira on vainunut jäniksen haju jäljen, tai nähnyt liikettä...
Tämähän on pelkkä lähtökohtakysymys, muuttujiahan voi lisätä rajattomasti, tai ainakin halunsa mukaan, ei matematiikka ole niistä moksiskaan.