"Kultasormuksen sisähalkaisija on 17,0 mm ja ulkohalkaisija 19,0 mm. Laske sormuksen tilavuus ja massa, kun sormuksrn poikkileikkaus on a) ympyrä b) puoliympyrä. Käytetyn kultaseoksen tiheys on 17,1 g/cm^3."
Oikeat vastaukset tähän ovat
a) V = 88,1 mm^3, m = 1,51 g
b) V = 44,4 mm^3, m = 0,759 g
Ymmärtäisin tämän, jos sormuksen ns. korkeus tiedettäisiin ja silloinhan tämä menisi ihan perusgeometriallakin ilman mitään integraaleja. En vain voi ymmärtää, miten tämä muka lasketaan ilman sitä tietoa. Ja a-kohta on siinäkin mielessä outo, että en vain ymmärrä, miten sormuksen poikkileikkaus voi olla puoliympyrä ja miten se sormi sinne sitten muka mahtuu.
Kiitos tosi paljon, jos joku minua älykkkäämpi jaksaisi tätä vähän valottaa :)
Oikeat vastaukset tähän ovat
a) V = 88,1 mm^3, m = 1,51 g
b) V = 44,4 mm^3, m = 0,759 g
Ymmärtäisin tämän, jos sormuksen ns. korkeus tiedettäisiin ja silloinhan tämä menisi ihan perusgeometriallakin ilman mitään integraaleja. En vain voi ymmärtää, miten tämä muka lasketaan ilman sitä tietoa. Ja a-kohta on siinäkin mielessä outo, että en vain ymmärrä, miten sormuksen poikkileikkaus voi olla puoliympyrä ja miten se sormi sinne sitten muka mahtuu.
Kiitos tosi paljon, jos joku minua älykkkäämpi jaksaisi tätä vähän valottaa :)
Vastaukset 16
Vanhimmat
Kai sen korkeuden pystyy tuosta päättelemään?
Kyllä. 19, 0mm
Ilmaisin ehkä vähän epäselvästi. En tarkoittanut tuota 19,0 mm korkeutta, vaan sormuksen ns. "paksuutta".
Esim. tässä kuvassa on eripaksuisia sormuksia, vaikka kaikkien sisä- ja ulkohalkaisija on sama:
http://www.serendipitydiamonds.com/blog/wp-content/uploads/2013/03/flat-court-wedding-rings-widths-339x1024.jpg
Jotenkin tuntuu, että onkohan tätä edes mahdollista laskea, kun tuota mittaa ei tiedä.
Osaisiko joku auttaa? Kyseessä on Pyramidi 10 -kirjasta otettu tehtävä.
Kun sisä- ja ulkohalkaisija on annettu ja poikkileikkaus on ympyrä niin paksuudelle tai "korkeudelle" ei jää kovin paljon valinnanvaraa.
Et ymmärtänyt vieläkään. Katso se kuva. En tarkoita sormuksen sisä- ja ulkopinnan väliin jäävää etäisyyttä.
Arvostaisin todella, jos joku tämän laskisi, koska en pääse kurssia läpi, jos en palauta kaikkia tehtäviä.
Millä kuvan sormuksista poikkileikkaus on ympyrä?
Tässähän selvästi sanotaan: poikkileikkaus on a) ympyrä b) puoliympyrä.
Jos se on ympyrä, on sormuksen "leveys" 1 mm samoin "korkeus".
Jos se on puoliympyrä on leveys 2 mm ja korkeus 1 mm. Kuinka tässä voi olla jotain epäselvää?
Usemmat integrointitehtävät, joita aqluksi lasketaan, voi laskea myös integroimatta. mutta niissä on tarkoitus harjoitella integrointia, siksi ne on laskettava integroimalla.
Siis tässä varmaan paksuudella meinataan sitä sormuksen ohuinta kohtaa. Eli tavallinen sormus on n. 3-4mm paksu. Kuten AP sanoi, olisi tämä helppo tehtävä, mikäli joku halutuista arvoista tiedettäisiin (massa, tilavuus, paksuus). Kuitenkin, nyt tehtävän annossa on määritelty vain sisä- ja ulkohalkaisija, joten näistä ei voida ratkaista kyseistä tehtävää.
Lisäksi, jos poikkileikkaus on ympyrä ja toisessa puoliympyrä niin miten nämä eivät ole suoraan verrannollisia, mikäli halkaisija on sama? Puoliympyrän pitäisi olla puolet ympyrän arvosta, mutta vastauksessa näin ei ole.
Puoliympyrän pitää tietenkin olla noin kaksi kertaa ympyrä. Ratkaisu joka annetaan on kuitenkin päinvastainen, ja siis väärin. Puoliympyrässä tulee halkaisija (2 mm) pienemmän halkaisijan (17 mm) kohdalle, siksi massa ei ole aivan kaksinkertainen.
Kiitos kaikille, nyt ymmärsin! :) Vika oli siinä, että olin käsittänyt poikkileikkauksella tarkoitettavan pitkittäin leikattua osaa, vaikka tietysti se tarkoittikin poikittaissuuntaista poikkileikkausta. Ihmettelinkin, miten se voi olla puoliympyrän muotoinen. Nyt hahmotan koko jutun. Kiitos paljon.
Mielestäni a- ja b-kohtien vastaukset ovat väärinpäin.
Vastaukset lyhyesti:
a)
V = 2 * π² * 9 mm * (0,5 mm)² = 44,41321... mm³ ≈ 44,4 mm³
m = ρ * V = 0,7594660... g ≈ 0,759 g
b)
V = 4 * π * (1 mm)³ / 3 π² * 8,5 mm * (1 mm)² = 88,08042... mm³ ≈ 88,1 mm³
m = ρ * V = 1,506175... g ≈ 1,51 g
Vähän selitystä:
a)
Tilavuus:
r
∫ π * [ ( R √(r² - x²) )² - ( R - √(r² - x²) )² ] dx = 2π²Rr²
-r
Tehtävän erikoistapauksessa R = 9 mm ja r = 0,5 mm.
b)
Tilavuus:
r
∫ π * ( R √(r² - x²) )² dx - 2πR²r = (4πr³) / 3 π²Rr²
-r
Tehtävän erikoistapauksessa R = 8,5 mm ja r = 1 mm.
HUOM
Integraaleja laskettaessa kannattaa huomata, että
r
∫ √(r² - x²) dx = (πr²) / 2
-r
Sormuksen paino voidaan tässä tapauksessa laskea myös ilman integrointia. On olemassa ns. Guldinin kaava (Paul Guldin sveitsiläinen matemaatikko 1500-luvulta), jolloin pitäisi tietää poikkileikkauksen painopisteen paikka ja pinta-ala. Lisäksi on tiedettävä painopisteen kulkema matka, joka tässä tietenkin on ympyrä, eli sormuksen keskihalkaisija kertaa pii. Ympyräpoikkileikkauksessa painopiste tietenkin on poikkileikkauksen keskellä, mutta puoliympyrälle sen saa taulukkokirjoista. Loppu onkin sitten rutiinia, kun ensiksi saadaan tilavuus, niin se kerrotaan kullan tiheydellä ja sitä myöten selvä. Guldin ei käyttänyt integraalilaskentaa kehittäessään kaavansa, koska sitä ei silloin vielä ollut keksitty.
Mielenkiintoinen kysymys on tuo poikkileikkaus. Jos meillä on pitkä putki, niin sen poikkileikkauksen suunnan varmaan jokainen tajuaa. Jos putkea lyhennetään, niin missä vaiheessa poikkileikkaus muuttuu pituusleikkaukseksi?
Tai pituuslekkaus poikkileikkaukseksi? Jos meillä olisi sormus, jonka sisäsäde olisi nolla, niin mitenpäin se halkaistaan tai katkaistaan?
Sormuksen poikkileikkaus: Jos sormus taivutetaan renkaaksi pyöreästä kultalangasta, jonka halkaisija on esim. 4 mm, niin silloin poikkileikkaus on ympyrä halkaisijaltaan 4 mm!! Jos sormuksen keskellä oleva reikä, johon sormi työnnetään on halkaisijaltaan 20 mm, niin silloin sormuksen ulkohalkaisija on 20 mm 2 x 4mm=28 mm.. Keskihalkaisija on silloin sormuksen reikä 2 x langan halkaisija jaettuna kahdella eli 20mm 2 x 4mm/2= 24 mm. Vielä lopuksi kertaan keskihalkaisija on siis reiän ja ulkohalkaisijan keskiarvo! Tämä yksinkertaisemmin en tätä osaa selittää. Aikoinaan kun olin itsekin alakoulussa ja tuli jostain ongelmia, jota en tiennyt ja menin kysymään, niin vastaus saattoi olla, että kysy hiljaa isolta varpaalta!
Jos meillä on lankaa, jonka poikkileikkaus on puoliympyrän muotoinen, ja taivutamme sen silmukaksi, jonka sisäde on nolla, niin kuinka paksu ja kuinka pitkä on lopputulos?