Vakio a ja juuret

Merkitään t = x². Tällöin yhtälö saa muodon
at² - 2t 1 = 0

Jos a=0, on yhtälö -2x^2 1=0, josta x= -sqrt(1/2). Jos a erisuuri kuin 0, on polynomi neljättä astetta, jolloin sillä on neljä juurta kompleksilukujen joukossa. Vai tarkoitatko, että noista neljästä juuresta osan tulisi olla samoja, jolloin juurten joukko {z_1,z_2,z_3,z_4} olisi kaksialkioinen joukko? Vai pitääkö olla tasan kaksi reaalijuurta?

Jos vakioksi a valitaan a=0, yhtälö typistyy toisen asteen yhtälöksi
-2x^2 1=0,
jolla on luonnollisesti kaksi ratkaisua.
Jos taas a = 1, yhtälöksi tulee
x^4-2x^2 1=0,
eli
(x^2-1)^2=0,
jolla silläkin on kaksi juurta, x = 1 ja x = -1.

Tähän on jo vastattukin, mutta täydennän vähän lisää. Kysymyksessä on joko alas aukeava paraabeli (a=0) tai tyypillinen neljännen asteen käyrä, joka sivuaa x-akselia.
Jälkimmäinen tapaus ratkeaa paitsi suoraan "näkemällä" myös laskemalla.
Ratkaistaan yhtälöpari.
ax^4-2x^2 1=0.
4ax^3-4x=0
Saattaa näyttää vaikealta, mutta on itse asiassa helppo. Alempi yhtälö kerrotaan termillä -x/4 ja lasketaan yhtälöt yhteen. x selviää ja a on helppo laskea.