sunnuntain kunniaksi

Silmämääräisesti 1)-kohta on aina suurempi kuin 3, ajankulun tarpeessa olevat keksikää perustelu :)

Muodostetaan kaksi epäyhtälöä:

4 - |1-x| > 3
=> -|1-x| > -1 => |1-x| < 1
tai
-(4 - |1-x|) > 3 => -4 |1-x| > 3 => |1-x| > 7

Sitten ratkaistaan x kummastakin epäyhtlöstä ja määrätään alueet, missä ainakin jompi kumpi on voimassa. Tämän sotkuisen tehtävän ratkaisun voi tarkistaa piirtämällä vasemman puolisen lausekkeen kuvaajan. Se on tupla-W muotoinen härveli.

Ympyrän säteen määrittämiseksi voidaan muodostaa 3 kpl R-säteisiä ympyröitä ja laskea niiden yhteinen leikkauspiste.

x^2 (y-2)^2=R^2, (x-1)^2 (y 1)^2=R^2, (x-3)^2 (y-3)^2=R^2
Näistä yhtälöistä ratkaistaan (x,y)=(a,b) joka on sitten ympyrän keskipiste. R^2 määräytyy heti tämän jälkeen sijoittamalla (x-a)^2 (y-b)^2 jokin edellä annetuista pisteistä.

Jolloin sadaan (a,b) keskinen ja R säteinen ympyrä.

1) Ratkaise |4 - |1 - x|| > 3.

Olkoon (1) tämä epäyhtälö.

Kaksi tapausta: (a) 1 - x >= 0, (b) 1 - x < 0:

(a) Jos 1 - x >= 0 eli x <= 1, niin |1 - x| = 1 - x, ja epäyhtälö (1) voidaan kirjoittaa näin:
|4 - (1 - x)| > 3
|4 - 1 x| > 3
|x 3| > 3 (2)
Kaksi alitapausta: (a1) x 3 >= 0, (a2) x 3 < 0:

(a1) Jos x 3 >= 0, niin |x 3| = x 3, ja epäyhtälö (2) voidaan kirjoittaa näin:
x 3 > 3, poistetaan 3 molemmilta puolilta:
x > 0
Tässä tapauksessa ratkaisut ovat siis: x <= 1 ja x > 0 eli 0 < x <= 1.

(a2) Jos x 3 < 0, niin |x 3| = -(x 3) = -x - 3, ja epäyhtälö (2) voidaan kirjoittaa näin:
-x - 3 > 3, poistetaan 3 molemmilta puolilta:
-x - 6 > 0, lisätään x molemmille puolille:
-6 > x
Tässä tapauksessa ratkaisut ovat siis: x <= 1 ja -6 > x eli x < -6.

(b) Jos 1 - x < 0 eli x > 1, niin |1 - x| = -(1 - x) = x - 1, ja epäyhtälö (1) voidaan kirjoittaa näin:
|4 - (x - 1)| > 3
|4 - x 1| > 3
|5 - x| > 3 (3)
Kaksi alitapausta: (b1) 5 - x >= 0, (b2) 5 - x < 0:

(b1) Jos 5 - x >= 0, niin |5 - x| = 5 - x, ja epäyhtälö (3) voidaan kirjoittaa näin:
5 - x > 3, poistetaan 3 molemmilta puolilta:
2 - x > 0, lisätään x molemmille puolille:
2 > x
Tässä tapauksessa ratkaisut ovat siis: x > 1 ja 2 > x eli 1 < x < 2.

(b2) Jos 5 - x < 0, niin |5 - x| = -(5 - x) = x - 5, ja epäyhtälö (3) voidaan kirjoittaa näin:
x - 5 > 3, lisätään 5 molemmille puolille:
x > 8
Tässä tapauksessa ratkaisut ovat siis: x > 1 ja x > 8 eli x > 8.

Tehtävän ratkaisut ovat siis:
(a1) 0 < x <= 1
tai:
(a2) x < -6
tai:
(b1) 1 < x < 2
tai:
(b2) x > 8

toisin sanoen: x < -6 tai 0 < x < 2 tai x > 8.

2)serkukset mia,tia ja pia laskivat ikänsä yhteen ja saivat tulokseksi 19 vuotta.
Kaksi vuotta sitten Tia oli kaksi kertaa niin vanha kuin Pia.
Viisi vuotta sitten Mian ikä oli kolmasosa Tian iästä.
Kuinka vanhoja he ovat nyt?

Olkoot:
* m = Mian ikä vuosina
* t = Tian ikä vuosina
* p = Pian ikä vuosina

Yhteenlaskettu ikä on 19 vuotta:
m t p = 19 (yhtälö 1)

Kaksi vuotta sitten Tia oli kaksi kertaa niin vanha kuin Pia.
t - 2 = 2 * (p - 2) (yhtälö 2)

Viisi vuotta sitten Mian ikä oli kolmasosa Tian iästä.
m - 5 = (t - 5) / 3 (yhtälö 3)

Ratkaistaan yhtälösysteemi (1), (2), (3).

Yhtälö (2):
t - 2 = 2 * (p - 2), jaetaan 2:lla:
(t - 2) / 2 = p - 2, lisätään 2:
2 (t - 2) / 2 = p (2')

Yhtälö (3):
m - 5 = (t - 5) / 3, lisätään 5:
m = 5 (t - 5) / 3 (3')

Korvataan yhtälössä (1) p arvolla, jonka löysimme yhtälössä (2'), ja m arvolla, jonka löysimme yhtälössä (3'):
m t p = 19
[5 (t - 5) / 3] t [2 (t - 2) / 2] = 19
5 (t - 5) / 3 t 2 (t - 2) / 2 = 19
t 7 (t - 5) / 3 (t - 2) / 2 = 19, kerrotaan 6:lla:
6(t 7) 2(t - 5) 3(t - 2) = 6 * 19
6t 42 2t - 10 3t - 6 = 114
11t 26 = 114
11t = 88
t = 8

Tia on 8 vuotta.

Korvataan t 8:lla yhtälössä (2'):
2 (t - 2) / 2 = p
2 (8 - 2) / 2 = p
2 6 / 2 = p
2 3 = p
5 = p

Pia on 5 vuotta.

Korvataan t 8:lla yhtälössä (3'):
m = 5 (t - 5) / 3
m = 5 (8 - 5) / 3
m = 5 3 / 3
m = 5 1
m = 6

Mia on 6 vuotta.