Katselin vaalitenttiä illalla ja mieleeni juolahti ongelma, jota en osannutkaan ratkaista, joten heitetäänpä ilmoille. Tilanne oli seuraava: Kahdeksan tentattavaa istui ringissä ja kaikille annettiin satunnaisesti kirjekuoressa yksi (1/8) valokuva jostain kahdeksasta tentissä paikalla olevasta henkilöstä ja kahdelle sattui oma kuva.
Ongelma: Mikä on tapahtuman todennäköisyys? Mikä on odotusarvo oman kuvan saavien henkilöiden määrälle? Entä yleinen tapaus?
Ongelma: Mikä on tapahtuman todennäköisyys? Mikä on odotusarvo oman kuvan saavien henkilöiden määrälle? Entä yleinen tapaus?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Todennäköisesti valmis kaava on olemassa. Yksittäin voidaan yrittää laskea tapaus että kukaan ei saa omaa kuvaansa. Ensimmäisellä henkilöllä se on 7/8. Toisella jakautuu kahtia: tapaus että ensimmäinen henkilö ei saanut myöskään toisen kuvaa eikä toinen omaansa: (6/8)x(6/7) plus todennäköisyys että ensimmäinen sai toisen kuvan: 1/8. Jne eli monimutkaiseksi menee.
Likiarvo saadaan olettamalla että kuvia on ääretön määrä niin että kutakin on 1/8. Silloin voidaan soveltaa binomijakaumaa. Silloin todennäköisyys että kukaan ei saa omaa kuvaansa on (7/8)^8 = 0,34.
Kyseessä on rencontre-ongelma. Kts
http://fi.wikipedia.org/wiki/Rencontre-ongelma
Rencontressa etsitään todennäköisyyttä, että ainakin joku saa oman kuvansa. Tuossa kai kysyjä haluaa todennäköisyyden, että tasan kaksi saa oman kuvan.
Minusta todennäköisyys tasan kahdelle oikealle kuvalle on 11/60. Laskin arvon D_{8,2} sivun http://en.wikipedia.org/wiki/Rencontres_numbers kaavalla.
Kiitos ratkaisuun johtaneista vinkeistä. Ongelmalliseksi muodostui juurikin niiden permutaatioiden määrän laskeminen, jossa kuudelle ei satu omaa kuvaa.
Tn("8:sta 2 saa oman kuvan") = 8C2*265 / 8!, jossa 265 on luntattu Rencontre'n luku. Pikakaava oli myös annettu: Tn("n:stä k saa oman kuvan") = e^(-1) / k!, kun n > 6.