Pienin luku

Tähän sopii seuraavat sanat:

"Miksi tuhlata aikaa oppimiseen, kun tietämättömyyden saavuttaa hetkessä"
(Hobbes)

Kuinka lähelle nollaa voidaan lähestyä olematta silti täysi nolla. Voiko nollasta erota äärettömiin?

Turha tässä on jaaritella matematiikasta, jos ei oteta äärellisiä joukkoja tai määritellä luvun suuruutta jollain erikoislaatuisella tavalla. Mennään nyt vähän sivuraiteille. Vaikka on olemassa realaatio "pienempi kuin" ja joukossa voi olla käsite "pienin luku", ei matematiikassa ole käsitettä "pieni". Ei voi sanoa, että 0.0001 on pieni, koska 0.00000001 on pienempi kuin 0.0001, ja tätä voi jatkaa loputtomiin. Mutta jos suuruus määritellään esim. normina eli reaalisen n-vektorin a Frobenius-normi on
||a||=sqrt(a_1^2 ...a_n^2), niin tottakai ||a||_min=0. Fysiikassa taas voidaan puhua pienimmästä aikayksiköstä, pituudesta tms. Planckin aika on se ajanjakso, joka valon nopeudella kulkevalta fotonilta kuluu Planckin pituuden mittaiseen matkaan, ja sen suuruus on n. 5,39121 × 10^−44 sekuntia. Tämä "ajan kvantti" on lyhyin ajanhetki.

Kun minä 50 vuotta sitten opiskelin matematiikkaa lukiossa, sanottiin, että jos isommasta ja pienemmästä vähennetään yhtä suuri, saadaan isompi ja pienempi.

Eikös se pienin luku ole suurimman luvun vastaluku, eli miinus ääretön. Ja itseisarvoltaan pienin luku on nolla.

1) Voidaan ensinnäkin puhua suurimmasta (max) ja pienimmästä (min) matemaattisesti mahdollisimman täsmällisesti määriteltävissä olevasta luvusta. Nolla on pienin ei-negatiivinen luku. Negatiivisista luvuista pienin määriteltävissä oleva on min = -max, mutta tarkoittanet tässä "pienimmällä luvulla" itseisarvoltaan pienintä lukua, joka on nolla. Mielenkiintoisempaa tässä ehkä kuitenkin on itseisarvoltaan pienin ilman raja-arvojen käyttöä määriteltävissä oleva nollaa suurempi luku. Suurin määriteltävissä oleva luku on tässä hyvin relevantti, koska tuo pienin luku = 1/max. max lienee nykyisin jossain Rayo-funktion ""suuruusluokassa"".
http://en.wikipedia.org/wiki/Rayo's_number

2) Jos taas ajatellaan fysikaalisia järjestelmiä, niin liikutaan paljon pienemmässä skaalassa. Nykytietämyksen mukaan suurin fysikaalisesti mielekäs luku on suuruusluokaltaan noin ≈ 10^(10^(10^(10^(10^1.1)))), joka on totaalisen universumin Poincare-sykli. Universumin historian ajatellaan toistuvan väistämättä tuon ajan kuluttua, koska kaikki mahdolliset erilaiset tapahtumat ovat jo tapahtuneet. Ei tietysti ole mitään takeita sille, että kaikki jatkuisi noinkaan kauan, mutta jos jatkuisi, niin tapahtumat toistuisivat. Kyse on aikamitasta, mutta tuokin luku on niin suuri, että käytännössä yksiköllä ei ole mitään merkitystä. Tuossa voidaan yhtä hyvin käyttää yksikkönä Planck-aikaa, vuosia tai universumin nykyistä ikää. Aika voidaan siis jakaa nykytietämyksen mukaan korkeintaan noin moneen toisistaan edes periaatteessa tunnistettavissa olevaan osaan. Se ei tietysti estä matemaatikoita käyttämästä isompiakin jakajia, mutta käytännössä vain pientä osaa niistä ehditään käyttämään konkreettisissa laskutoimituksissa.
https://www.youtube.com/watch?v=1GCf29FPM4k

Eikö pienin luku ole joku - 10000 00000 00000 00000 00000 000000 00000

Tähän liittyen: https://fi.wikipedia.org/wiki/Hyvinjärjestys
Sellaisenaanhan reaaliluvut eivät ole hyvin järjestetty. Niistä ei minimiä löydy ja ei sitä löydy joukosta (0, 1]:kään. Mutta jos valinta-aksiooma hyväksytään, niin silloin reaalilukujen joukkokin voidaan "hyvinjärjestää". (Tällöin se ei tosin enää ole järjestetty kunta eli laskulaet eivät toimi yhteen järjestyksen kanssa niinkuin normaalisti.) Eipä tällaista reaalilukujen hyvinjärjestystä ole tainnut kukaan kuitenkaan koskaan konstruoida(?)