Koulussa opetettiin, että kolmella jaollisuuden voi tarkistaa helposti laskemalla luvun numerot yhteen niin kauan, että jäljellä on enää yksi numero, ja jos se on 3, 6 tai 9, niin luku on kolmella jaollinen. Eli esim. luvulle 1689 voi laskea ensin 1 6 8 9=24 ja sitten 2 4=6, joten 1689 on kolmella jaollinen. Miten tämä eriskummallisuus osoitetaan paikkansapitäväksi?
kolmella jaollisuuden tarkistaminen
woihanwaikeata
3381
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Luvun jäännösluokka modulossa 3 on sama kuin sen numeroiden summan. Tämä johtuu siitä, että 10 on kongruentti 1 (mod 3). Siis
a = summa: a_i * 10^i =(kongr)= summa: a_i 1^i = summa: a_i
Jos modulaarilaskenta ei ole tuttua, niin ajattele näin 10 = 3*3 1, eli jaettuna kolmella kympistä jää 1. Nyt tämä jakojäännös noudattaa potenssiinkorotuksessa sitä laskulakia, että luvun potenssin jäännös on sama kuin jäännöksen potenssi: Jos a=3*b c, niin
a^k = (3*b c)^k = binomikaava, jossa ekoissa termeissä kolmosen potensseja ja viimeinen termi on c^k, siis jäännös jaettaessa kolmella on tuo c^k.
Niin ja siis luku on jaollinen kolmella, joss jäännöluokka on 0.
Jos et ole opiskellut matikkaa pitemmälle voi nokikanan selitys mennä yli hilseen. Otetaan simppelisti vaikkapa kolminumeroiselle luvulle, merkitään lukua abc jossa a, b ja c ovat kokonaislukuja välillä 0-9. Siis abc = a*100 b*10 c. Kun tuo jaetaan kolmella, saadaan:
(a*100 b*10 c)/3 = (a*(99 1) b*(9 1) c)/3 = a*33 a/3 b*3 b/3 c/3 = a*33 b*3 (a b c)/3
Mistä nähdään että tulee kokonaisluku jos a b c on jaollinen kolmella.