Olkoon T luonnollisten lukujen osajoukko.
Pelaaja heittää k-tahkoista noppaa (eli joka heitolla tulee luku joukon {1, 2, ..., k} tasajakaumasta). Joka heitolla saatu luku lisätään summaan S, eli
S(n) = a_1 a_2 ... a_n,
kun luvut
a_1, a_2,..., a_n ovat heitetyt lukuarvot.
Pelaaja saa lopettaa milloin tahansa heittämästä ja ottaa voittonsa, joka on S(n) euroa. Toisaalta pelaaja saa heittää niin monesti kuin haluaa, mutta jos jollain kierroksella n käy niin, että summa S(n) kuuluu joukkoon T, niin pelaaja menettää koko potin.
Millainen strategia olisi paras pelaajalle?
Esimerkkejä joukoista T: neliöluvut, alkuluvut, parilliset luvut,...
Pelaaja heittää k-tahkoista noppaa (eli joka heitolla tulee luku joukon {1, 2, ..., k} tasajakaumasta). Joka heitolla saatu luku lisätään summaan S, eli
S(n) = a_1 a_2 ... a_n,
kun luvut
a_1, a_2,..., a_n ovat heitetyt lukuarvot.
Pelaaja saa lopettaa milloin tahansa heittämästä ja ottaa voittonsa, joka on S(n) euroa. Toisaalta pelaaja saa heittää niin monesti kuin haluaa, mutta jos jollain kierroksella n käy niin, että summa S(n) kuuluu joukkoon T, niin pelaaja menettää koko potin.
Millainen strategia olisi paras pelaajalle?
Esimerkkejä joukoista T: neliöluvut, alkuluvut, parilliset luvut,...
Vastaukset 10
Vanhimmat
Heittämistä jatketaan, kunnes jatkamisen tuoton odotusarvo alittaa jo voitetun summan S(n).
Johdattelen hieman. Odotusarvo on luonnollisesti k:n, T:n ja S(n):n funktio. Seuraavalla heitolla a_(n 1) on joukossa A(k) = (S(n) 1,.....,S(n) k), johon kuulukoon m kappaletta T:n alkioita - olkoon tämä T:n osajoukko T(k). Tällöin kaiken menettämisen todennäköisyys on m/k ja jatkoon selviämisen todennäköisyys 1-m/k. Jos selvitään jatkoon, S(n 1):n odotusarvo on E(S(n 1) = A(k)-T(k):n alkioiden keskiarvo Avg({A(k)-T(k)}).
Triviaalisti, jos S(n) < (1-m/k)* E(S(n 1), on jatkettava. Muussa tapauksessa on laskettava koko tulevan jatkoheittojen joukon odotusarvo E(S(n )), ja verrattava S(n):ää siihen.
Esimerkiksi, olkoon k=6 ja T=alkuluvut.
a) Jos ensimmäisellä heitolla saadaan kakkonen, S(1)=2, niin E(S(2))=6, jolloin heitetään uudelleen.
b) Jos ensimmäisellä heitolla S(1)=4, niin E(S(2))=5,5, jolloin myös heitetään uudelleen.
c) Jos ensimmäisellä heitolla S(1)=6, niin E(S(2))=5, jolloin triviaalisäännöllä ei selvitä, vaan on tarkasteltava jatkoheittoja kussakin toisen heiton suotuisassa tapauksessa ja niin edelleen. Jos osoittautuu, että E(S(2 ) > 6, jatketaan, muussa tapauksessa lopetetaan.
Ymmärsinköhän jotain väärin, mutta jos k=6 ja T=alkuluvut, mahdollisia nollasta poikkeavia summia ensimmäisellä kierroksella ovat 1, 4 ja 6, jotka eivät ole alkulukuja (1 jää pois jos poissuljettuja ovat positiiviset jaottomat luvut). Jos tulee ensin yksi, kannattaa jatkaa sillä summan odotusarvo 2. heiton jälkeen on (4 6)/6=1,7. Jos tulee ensin 4, kannattaa jatkaa sillä summan odotusarvo 2. heiton jälkeen on (6 8 9 10)/6=5,5. Samoin jos tulee ensin 6, kannattaa jatkaa sillä summan odotusarvo 2. heiton jälkeen on (8 9 10 12)/6=6,5. Mutta summasta 8 eteenpäin ei kannata jatkaa koska silloin summan odotusarvo heiton jälkeen jää lähtöarvoa pienemmäksi. Ja sillähän ei ole merkitystä onko esim. pistesumma 6 kerätty yhdellä, kahdella tai kolmella heitolla. Eli sääntö on: kannattaa jatkaa heittämistä siihen asti kunnes pistesumma on enintään 6.
Jos on käytössä kuutosnoppa (k=6) ja T on neliöluvut, voidaan laskea samalla tavoin että heittämistä kannattaa jatkaa kunnes pistesumma on enintään 18; sen jälkeen riski pistesumman 25 tulemisesta pudottaa odotusarvon lähtöarvoa pienemmäksi. Yleisemmin, jos seuraavan heiton mahdollisiin pistesummiin voi kuulua yksi T:n alkio, kannattaa kuutosnopalla pelata pistesummaan S<5*(S 3,5)/6 asti mistä S<17,5.
"kunnes pistesumma on enintään 18; sen jälkeen riski pistesumman 25 tulemisesta pudottaa odotusarvon lähtöarvoa pienemmäksi. "
On huomattava, että jos summasta 25 päästään yli, seuraavat heitot summaan 30 asti ovat takuuvarmaa tuottoa. Jatkamisen odotusarvoa laskettaessa on huomioitava koko jatkoheittojoukko, ei ainoastaan se yksi heittto.
Taidat olla oikeassa, yritetään uudestaan. Tarkastellaan tilannetta että pistesumma on yhden heiton päässä neliösummasta n^2, siis n^2-6 - n^2-1, siis keskimäärin n^2-3,5. Yksi heitto kasvattaa pistesummaa keskimäärin määrällä 3,5. Siten, jos pelaaja jatkaa heittelyä, hänellä on todennäköisyys 1/3,5 menettää tuo pistesumma. Toisaalta hänellä on todennäköisyys 2,5/3,5 kasvattaa pottiaan keskimäärin määrällä 2*n 1 mikä on kahden neliöluvun etäisyys. Jos vaaditaan että potin kasvun odotusarvo ei saa olla pienempi kuin menetyksen odotusarvo, saadaan yhtälö:
2,5*(2*n 1)/3,5 >= (n^2-3,5)/3,5
Mistä saadaan että n saa olla enintään 6 ja pistesumma 36 olisi rajoilla kannattaako peliä jatkaa sen yli vai e.
Tämä on ihan mielenkiintoinen pohdinta, olisi vaan aikaa paneutua kunnolla asiaan. Tässä erikoistapauksessa (k=6, T= neliöluvut), kun pistesumma on yhden heiton päässä neliösummasta, jos pelaaja jatkaa heittelyä, hänellä on mielestäni todennäköisyys 1/6 menettää koko pistesumma ja toisaalta hänellä on todennäköisyys 5/6 kasvattaa pottiaan noin summaan n^2-3,5. Se, että heiton keskimääräinen tulos on 3,5, ei vaikuta todennäköisyyksiin. Tämä koskee tapausta, kun ollaan yhden päässä neliöluvusta. Menee monimutkaisemmaks jos ollaan vaaravyöhykkeessä kauempana, koska silloin ei välttämättä päästä yhdellä heitolla neliöluvun yli.
Joo mutta kun edetään keskimäärin 3,5 askelin, eikö silloin ole todennäköisyys 1/3,5 osua tuohon neliölukuun ja vastaavasti 2,5/3,5 että ei osuta? Ainakin hyvä approksimaatio. Tietysti jos ollaan yhden päässä, silloin osumistodennäköisyys on 1/6. Mutta jos ollaan kuuden päässä, todennäköisyys osua seuraavalla heitolla on 1/6, mutta jos ei osuta, sen jälkeen tulee toinen 1/6 ja jos lukemat ovat pieniä voi tulla vielä kolmas ja neljäskin 1/6.
Olet oikeassa, luin kiireessä väärin ja tulkitsin, että ollaan yhden pisteen päässä neliöluvusta, mutta sanoitkin että yhden heiton päässä. Jos heittoja aina toistetaan, kunnes päästään neliölukuun tai yli, niin laskelmasi pitää paikkansa, mutta näin ei tarvitse tehdä. Heittotilanteessa summa tunnetaan, ja sen perusteella on päätettävä, jatkaako vai ei. Jos esimerkiksi summa on 29, ja seuraavaksi tulee ykkönen, niin jatkomahdollisuudet 30:stä ovat huonot, koska kaikki jatkosarjat, joiden jokin välisumma on kuusi, osuvat 36:een. Mutta jos 29:n jälkeen saakin kuutosen, jolloin summa on 35, niin nyt osumisen todennäköisyys onkin vain 1/6.
Näyttää siltä, että joihinkin summiin 30,31,.. kannattaa jäädä, mutta muutamalla ..34, 35 kannattaa jatkaa.
No joo, tuo keskiarvoilla laskeminen antaa tietyn nyrkkisäännön joka ei päde kaikissa heittosarjoissa. Kaikkiin tilanteisiin pätevä sääntö olisi aika monimutkainen.
Parilliset luvut eivät ole luonnollisten lukujen osajoukko, koska -2 on parillinen muttei luonnollinen.