z-tasolla joukko D koostuu muotoa z = x iy olevista kompleksiluvuista, jotka toteuttavat seuraavat ehdot: -∞ < x < ∞, π/4 ≤ y ≤ π/2. Määritä joukon D kuva R w-tasolla, kun w = e^z.
Kirjan antama vastaus: u ≥ 0, v ≥ u
Minua hämää tässä se, että miksi myös 0 kuuluu joukkoon R. Onko kirjassa painovirhe vai mistä on kyse?
Kirjan antama vastaus: u ≥ 0, v ≥ u
Minua hämää tässä se, että miksi myös 0 kuuluu joukkoon R. Onko kirjassa painovirhe vai mistä on kyse?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Onko z siis sekä taso että kompleksiluku? Minusta tehtävässä on ainakin tässä kohtaa virhe. Vai onko tosiaan olemassa esimerkiksi 2 3i -taso? En ole kuullut tuollaisesta, mutta kompleksilukuopinnoistani on aikaa. Kuuluuko siis D äärettömään moneen tasoon tehtävänannon mukaan?
z-tasolla tarkoitetaan tavallista kompleksitasoa, joka sisältää joukon D. Lisäksi selvyyden vuoksi olisi ehkä voitu kertoa, että w = u iv.
Minusta kyseessä on virhe. Eihän e^(x iy) ole koskaan nolla, koska e^0=1 ja |e^(x iy)|=|x iy|>0 kun x yi ei ole nolla.
En hallitse asiaa, mutta äkkiä nettiä selaten löytyy Eulerin lause: e^(it)=cost i*sint
w=e^z=e^(x iy)=e^x*e^iy=e^x(cosy i*siny)=e^xcosy e^x*isiny
e^xcosy=0, silloin kun y=pi/2
Ja tuosta on hyvä jatkaa:
lim e^xisiny = lim ie^x = lim i0 -> 0
x->-∞
Koska ylemmän pyörittelyn perusteella yllä oleva lauseke suppenee ja on määritelty em. pisteessä.
Onko tällä jotain tekemistä äärettömyyspisteen kanssa?
Äärettömyyspisteet ovat vähän hankalia aina, koska ne pitää mennä tarkistamaan lausekkeen kanssa. Jos lauseke on em. pisteessä hyvin määritelty, voidaan äärettömyyspiste ottaa mukaan. Nyt kävi tuuri.