Eräästä Aku Ankka tarinasta innostuneena keksin seuraavanlaisen tehtävän: Mikä on maapallon keskipisteestä nostettavan vaunun nostamiseen tarvittava työ, kun tiedetään että vaunun massa on 125 kg? Kuinka paljon voimaa tarvitaan vaunun kiihdyttämiseen 175 km/h kuudessa sekunnissa?
Matka maan pinnalle
kfok
23<50
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 23
Vanhimmat
En jaksanut laskea loppuun, mutta johdin tarvittavat kaavat, jos joku haluaa laskea lukuarvot. Vaikka kyseessä voi olla kotitehtävä, menköön tämän kerran.
Maapallon tiheys ei ole aivan tasaisesti jakautunut, vaan ytimen lähellä on tiheämpää kuin pintaa lähempänä. Mutta hieman oikaistakseni oletan tiheyden olevan vakio, jolloin painovoiman suuruus kasvaa lineaarisesti nollasta maanpinnan tasoon pinnalle noustessa.
F(r)=rgm/R, jossa r on etäisyys Maan keskipisteestä, g on gravitaatiokiihtyvyys pinnalla, m onkappaleen massa ja R Maan säde.
Tehty työ pinnalle noustessa on
W=∫F(r)dr nollasta R:ään.
=gmR/2
Koska painovoima Maan keskellä on nolla, voidaan kiihdyttämiseen käytettävänä voimana käyttää yhtälöä F=ma ja vakiokiihtyvyyden tapauksessa pätee v=at.
Mutta jos F=ma niin tuossa yhtälössähän a on nyt muuttuja, joka kasvaa lähestyttäessä maan ydintä, olenko oikeassa? Ainakin leveyspiireillä 0-90 G vaihtelee 9,78-9,83 m/s2 välillä.
Maapallon tiheys muuttuu itse asiassa aika paljon syvyyden funktiona. http://www.astro.utu.fi/zubi/earth/struct.htm Puolessa välissä (3000 km) tulee kynnysmäinen tiheyden suunnilleen kaksinkertaistuminen. Sen vuoksi painovoima ei paljon vähene tuohon puoliväliin mennessä mutta sen jälkeen alkaa vähetä nopeasti.
Ei sen kuuden sekunnin aikana ehdi tapahtua merkittäviä muutoksia painovoimassa. Ja jos oletetaan kiihdytyksen tapahtuvan ytimen tienoilla sen painovoiman voi kokonaan unohtaa hyvällä tarkkuudella.
Mutta tosiaan oletus homogeenisuudesta on aika raskas yksinkertaistus, ja tarkempien tulosten laskeminen vaatii tietoja oikeasta tiheysjakaumasta.
http://arxiv.org/pdf/1308.1342v1.pdf Tossa linkissähän lasketaan sitä kuuluisaa(Mertaranta) laskua maapallon läpi poratusta reiästä, ja siinä on myös käyriä maapallon tiheydestä ja painovoimakiihtyvyydestä. On siinä kyllä paljon muutakin...
Jos kappale on etäisyydellä r (< R = maapallon säde) maapallon keskipisteestä siihen Newtonin mukaan vaikuttaa vain tuon r-säteisen maapallon sisäosan massa.
Painovoima siis pienee koko ajan kappaleen pudotessa kohti keskipistettä, siis myös ennen tuota "puolta väliä".
Ohman
Et sitten viittiny avata tota nokkas yläpuolella olevaa linkkiä.
Kommentoin vain Epähomogeenisuus-nimimerkin kirjoitusta.
Ohman
No minun kommenttini perustui samantyyppiseen laskelmaan kuin Rotborrin linkissä. Minun antamassani linkissä näkyy että maapallon tiheys likimain kaksinkertaistuu puolivälissä kohti keskipistettä. Jos nyt tehdään hyvin pelkistetty malli että puoliväliin asti tiheys on vakio mutta sitten se yhtäkkisesti kaksinkertaistuu ja pysyy sen jälkeen vakiona keskipisteeseen asti. Tuo tiheämpi pallo on tällöin tilavuudeltaan 1/8 koko maapallosta mutta kun sen tihe7ys on kaksinkertainen, on sen paino 1/4. Jos tarkastellaan painovoimaa tämän tiheämmän sisäpallon pinnalla, koska sen säde on puolet koko maapallon säteestä, on geometriatekijä nelinkertainen. Eli gravitaatiovoima on sama kuin koko maapallon pinnalla siis g. Ja ulkopuolella oleva pallonkuori ei vaikuta kuten itsekin toteat.
Tiheämmän pallon sisällä puolestaan pätee tuo r/R-malli eli painovoima vähenee lineaarisesti.
Tällä hyvin yksinkertaisella laskelmalla päästään suunnilleen samaan tulokseen kuin Rotborrin linkissä on laskettu varsin sofistikoidulla mallilla. Painovoima on vakio suunnilleen puoleenväliin (itse asiassa jopa hieman kasvaa) ja sitten alkaa vähetä lineaarisesti.
Satunnainen satuilija sai tuloksen W = gmR/2 = GMm/(2R) olettaen tiheyden vakioksi. No oletetaan niin. Maapallon pinnalla olevan massan m potentiaalienergia
P = GMM/R.
Pikku pähkinä:
Kun m nostetaan maapallon keskipisteestä pinnalle tehdään Satunnainensatuilijan mukaan siis työ W= P/2. Mistä potentiaalienergian toinen puolisko tulee?
Ohman
Tuli tuohon kirjoitusvirhe. P = GMm/R
Ohman
Ohmanin pähkinään:
Tuo potentiaalienergian lauseke toimii joko pistemäisen massan tai pallosymmetrisen massan ulkopuolella, joka siis ei ole tämän tilanteen mukainen.
Katselin Rotborrin laittamaa linkkiä ja ajattelin laskea hieman lisää. Sieltä olevasta kuvaajasta voi lukea, että painovoima kasvaa melko lineaarisesti säteen puoliväliin asti, jonka jälkeen se on melko vakio (jopa laskee hieman). Eli jos oletetaan lineaarisuus puoleen säteeseen asti ja lasketaan kuten edellä laskin, ja sitten loppuosaan oletetaan vakiopainovoima työksi saadaakin lauseke:
W=3gmR/4
Vakiotiheyden oletuksella saatiin gmR/2, joka on pienempi. Eli tiheä ydin kasvattaa hieman tuota aloituksen tehtävän työtä.
Kyllähän se toimii maapallon pinnalla, se on "ulkopuolella". Eikö maapallon pinnalla olevan m-massaisen kappaleen potentiaalenergia ole mielestäsi GmM/R ?
Ja eikö Newtonin mukaan maapallon gravitaatio tuolla "ulkopuolella" toimi kuin maapallon massa olisi pistemäinen maapallon keskipisteessä.
Ohmam
Ja lisään, että pysytään nyt siinä vakiotiheydessä eikä viedä keskustelua sivupoluille noilla tiheyden muutoksilla.
Ohman
Siis tuolla kaavalla voi tarkastella potentiaalienergian eroja pistemäisen massan tai pallosymmetrisen massan ulkopuolella. Nollataso on valittu äärettömyyteen. Tuo ei siis kuvaa potentiaalienergiaa Maan keskipisteestä lähtien.
Niin ja etumerkki on yleensä valittu negatiiviseksi.
Et näytä ymmärtävän "pähkinääni". Olkoon.
Ohman
Maapallon pinnalla on m:n potentiaalienergia P = -GmM/lRl. Tästä seuraa, että
m:ään vaikuttava voima on F = - grad P = - (GmM / lRl^3 ) R . Myöntänet, että tämä on voima, jolla maapallo vetää pinnallaan olevaa kappaletta puoleensa.
lFl = GmM/lRl^2 , tuo tuttu kaava.
Tämä voima F saatiin siis juuri tuosta mainitsemastani potentiaalifunktiosta niinkuin pitääkin. Sinä kuitenkin väität, että tuo potentiaalifunktio ei ole oikea.
Enpä nyt viitsi kinastella enempää. Alkaa siirtyä tämä keskustelu sellaiseksi mihin usein nämä palstakeskustelut näyttävät johtavan.
Ohman
Jos se nostotyö on ½mgR, niin täytyyhän se massa saada vielä pyörimäänkin maapallon mukana, keskipisteessä ollessaanhan se ei pyöri, jos se toinen puolikas tulee siitä?
En tosiaan arvaa millaista vastausta odotat. Muuten asia on sikäli ilmeinen, että sekä potentiaalienergian että voiman funktio muuttuvat pinnan alle mentäessä. Ei ole mitenkään poikkeksellista, ettei nuo lausekkeet ole päteviä kaikkialla, vaan paloittain määriteltyinä.
Ehkä joku muu arvaa millaista ratkaisua haet, tai sitten ei.
Tuo b) kohta on tosiaan hieman epätarkka, eli kuinka paljon voimaa tarvitaan kiihdyttämään vaunu jonka massa on 125 kg nopeuteen 175 km/h kuudessa sekunnissa, kun lähtö piste on maan keskipiste.
Kirjoitin äsken vastauksen mutta ei suostu lähettämään sitä millään. "Lähetä"-kentän klikkaaminen ei aiheuta mitään.Missä ihmeessä on vika?
Kokeilen, lähteekö tämä.
No yritän uudestaan toista kautta.Gravitaatiopotentiaali V(r) (ei siis potentiaalienergia) saa äärettömyydessä arvon 0 ja on muualla negatiivinen. Pallon keskipisteessäkään se siis ei ole 0.
Tutkitaan palloa jonka säde on R ja tiheys d on vakio. Tämän pallon pinnalla
V(R) = - 4/3 pii G d R^2
Jos merkitsen vektorien A ja B sisätuloa (A,B) niin pallon sisällä (r < R) V toteuttaa yhtälön
(1) (grad,grad(V)) = - 4 pii G d (yhtälö pätee silloinkin kun d ei ole vakio, tällöin V:n ja d:n arvot otetaan aina samoissa pisteissä).
Yhtälön (1) ratkaisuna saadaan V(0). Laskekaapa. Tässä pallosymmetrisessä tapauksessa (V ei riipu latitudista eikä longitudistsa vaan ainoastaan r:stä) se ei ole vaikeaa ja reunaehdotkin on helppo löytää.
Massan m nostamiseksi keskipisteestå (r=0) pinnalle (r = R) tehty työ on potentiaalienergioitten erotus:
Työ = m V(R) - m V(0) = m (2/3) G pii d R^2 = mgR/2 eli tulos, jonka Satunnainensatuilija esitti, sillä g = 4/3 pii R d.
Ohman
(1) V(r