Oheisen artikkelin luettuani jäin miettimään tapausta R := [0, 1) ∪ (1, 2].
https://fi.wikipedia.org/wiki/Yhtenäisyys
Miten siis löydän avoimet joukot A ja B siten, että R = A ∪ B? Vai eikö R olekaan epäyhtenäinen?
https://fi.wikipedia.org/wiki/Yhtenäisyys
Miten siis löydän avoimet joukot A ja B siten, että R = A ∪ B? Vai eikö R olekaan epäyhtenäinen?
Vastaukset 12
Vanhimmat
No eikös [0,1) ja (1,2] ole avoimia R:ssä?
Eivät, koska B(0, r) sisältää esimerkiksi pisteen -½r ∉ [0, 1) olipa r > 0 miten pieni tahansa ja vastaavasti B(2, r) sisältää pisteen 2 ½r ∉ (1, 2]. Korjaa, jos olen väärässä.
Pallo B(0,r) ei sisällä pistettä -r/2, koska -r/2<0 kaikilla r>0 mutta avaruus [0, 1) ∪ (1, 2] ei sisällä negatiivisia lukuja.
Ajattelen siis näin:
Joukko on avoin täsmälleen silloin, kun sen jokaisella pisteellä on olemassa (kuula)ympäristö, joka sisältyy kyseiseen joukkoon.
Yritetään etsiä pisteelle 0 tällaista ympäristöä.
B(0, r) = { y ∈ ℝ: |y - 0| < r } = { y ∈ ℝ: -r < y < r }
Tässä tapauksessa kuulaympäristö on siis avoin väli (-r, r), joka sisältää myös negatiivisia lukuja, jotka eivät kuulu joukkoon R. Näin ollen [0, 1) ei ole avoin.
Tässä ovat menneet hieman topologiat sekaisin. Joukko [0,1) (samoin kuin (1,2]) on avoin avaruudessa R. Tämä siksi, että B(0,r)={x \in R : |x|
Tässä on kyseessä ns. aliavaruustopologia. Siis jos (X,t) on topologinen avaruus ja S on X:n osajoukko, niin S:n osajoukko on avoin osajoukkotopologiassa jos ja vain jos se on S:n ja avaruuden (X,t) avoimen joukon leikkaus. Sinun tapauksessasi mikään negatiivinen luku ei kuulu tällaiseen joukkoon, jos joukkoa leikataan joukolla [0, 1) ∪ (1, 2]. Tarvittava teoria löytynee monesta topologian perusoppikirjasta tai vaikka Wikipediasta, https://en.wikipedia.org/wiki/Subspace_topology . Kun tuon määritelmän opettelee kunnolla, pitäisi virhepäättelysi olla toivottavasti selvää.
Kiitoksia näistä vastauksista. Aliavaruustopologiaan en ollutkaan vielä aikaisemmin törmännyt, joten ei mikään ihme, että en tuota pystynyt sisäistämään.
Jos oikein ymmärrän merkintöjäsi niin kumpikaan joukoista ei sisällä lukua 1 joten tuo niitten unioni ei ole yhtenäinen.
Ohman
"kumpikaan joukoista ei sisällä lukua 1 joten tuo niitten unioni ei ole yhtenäinen"
Olen samaa mieltä. En kuitenkaan keksi avoimia joukkoja A ja B, jotka toteuttaisivat nuo kolme ehtoa.
Eikö tuo riipu siitä, mitä avaruutta tutkitaan? Siis kyllähän [0, 1) ∪ (1, 2] on avaruuden reaaliluvut\{1} yhtenäinen osajoukko mutta reaaliavaruuden epäyhtenäinen osajoukko.
Niin, tarkoitan siis tuota jälkimmäistä.
Olkoot nuo osajoukkosi A = (0 <= x < 1) ja B = (1 < x <= 2). Y = AUB on koko reaaliakselin muodostaman topologisen avaruuden X osajoukko ja sen aliavaruus kun otetaan käyttöön tuo täällä jo mainittu relatiivitopologia.
Nyt Y on yhtenäinen sjvs kun se yhtenäinen relatiivitopologiassa. Mutta A ja B ovat ei-tyhjiä relatiivitopologiassa avoimia joukkoja joiden unioni on Y eli Y ei ole yhtenäinen.
On olemassa toinen ekvivalentti ja tähän tehtävään hyvin sopiva määritelmä tuolle osajoukon Y yhtenäisyydelle:
Y:n "separaatio" (mikä lie virallinen suomennos matematiikassa ?) on pari sellaisia pistevieraita ei-tyhjiä joukkoja joiden unioni on Y ja joilla kummallakin on limit-point joka ei kuulu siihen toiseen näistä joukoista.Y on yhtenäinen jos ei ole olemassa Y:n separaatiota.
Nyt luku 1 on A:n limit point joka ei kuulu B:hen ja se on myös B:n limit point joka ei kuulu A:han. Näin ollen A ja B muodostavat joukon Y = A U B separaation eikä Y siis ole yhtenäinen.
Ohman
Nyt A ja B ovat ei-tyhjiä joukkoja ja