Origosta alkavan vektorin a=2i 7j päätepisteestä P alkava ja x-akselin pisteeseen Q päättyvä vektori b on kohtisuorassa vektoria a vastaan. Määritä P ja Q ja vektori b.
Hankalia vektoritehtäviä
maa5kyseessä
981
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 2 sääntöjenvastaista viestiä.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Ja vielä tämmönen jos oli helppo: vektorien c ja d välinen kulma on 120 astetta. Määritä sellainen luku r,että c:n pituus on kaksi kertaa d:n pituus ja vektorien c rd ja c-d välinen kulma on 90 astetta.
a = 2i 7j, lisätään siihen b = ai bj ja saadaan tulos 2i 7j ai bj = ci, koska piste Q on x-akselilla. Nyt on siis oltava 7j bj = 0, josta b = -7. Koska a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin niiden pistetulo on oltava nolla eli a piste b = 0 eli 2*a 7*(-7) = 0, josta a = 49/2 = 24½. Näin ollen vektori b = 24½i - 7j ja piste P(2,7) ja piste Q(24½,0)
26½
Tehtävä 1:
a = 2i 7j. Piste P on siis (2,7). Piste Q on i-akselilla, joten se on (q,0) ja paikkavektori on siis q i 0 j.
Vektori PQ = b= (q-2) i - 7 j
Sisätulo (pistetulo) (a,b) = 0 joten 2(q-2) -49 = 0 joten q = 53/2 = 26,5.Piste Q on siis (26,5 , 0) ja vektori b = 24,5 i - 7 j.
Tarkastuksen vuoksi: (a,b) = 49 - 49 = 0
Tehtävä 2:
(Sisätulo) (c/lcl, d/ldl) = cos(120) = -1/2
lcl = 2 ldl ja ( (c rd), (c - d)) = 0
Eli
lcl^2 -(c,d) r (c,d) -r ldl^2 =0 . Koska lcl = 2 ldl ja (c,d) = -1/2 lcl ldl = - ldl^2 saadaan tästä
4 ldl^2 -(r-1) ldl^2 - r ldl^2 = 0 ja siis 4 - 2r 1 = 0 josta r = 2,5.
Tarkastus: ((c r d,(c - d)) = ((c 2,5 d), (c - d))= lcl^2 - (c,d) 2,5 (c,d) - 2,5 ldl^2 = 4ldl^2 1,5 (2 ldl^2)(-1/2) -2,5 ldl^2 = (4 - 1,5 - 2,5) ldl^2 = 0
Ohman
Laitan tähän samaan ketjuun:
Miten on a valittava, jotta vektorit u = (2 3a) i - 4j ja v = 5i (a-5)j olisivat 1) samansuuntaisia 2) samoja?
Vektorit u ja v ovat samansuuntaiset kun u = k v missä reaaliluku k > 0. Tehtävästä näkee heti, että kun a = 1 vektoreilla on samat komponentit ja ne siis ovat samat.Tällöin siis k = 1.
Entä tuo yleisempi tapaus? Pitää olla
2 3 a = 5 k ja -4 = k(a-5).
joten a = 1/3 (5k - 2) ja -4 = k(1/3(5k - 17)) josta 5 k^2 - 17 k 12 = 0. Tämän ratkaisut ovat k = 1 ja k = 2,4.Kun k = 1 on siis a = 1 ja saadaan tuo yhtäsuuri tapaus: u = v.
Kun k = 2,4 on a = 10/3 jolloin u = 12 i - 4 j ja v = 5 i - 5/3 j
ja
u = k v = 2,4 v = 2,4 (5 i - 5/3 j) = 12 i - 4 j
Ohman
Tässähän voi käyttää determinanttia, jota tosin ei kukaan koskaan käytä.
Jos determinantit ovat nollia ovat vektorit joko samansuuntaisia tai peräti samoja.
Dx ja Dy ovat tässä ilman muuta nollia , ja D= (2 3a)(a-5) 20, joka siis asetetaan nollaksi ja ratkaistaan a.
Tulee kaksi arvoa a=1 tai a=10/3.
Takaisin sijoittamalla todetaan, että vektorit ovat samoja kun a=1, ja samansuuntaisia kun a=10/3, koska on löydettävissä positiivinen luku t, jolla (2 10)i-4j=t(5i (a-5)j), eli:
12i-4j=5ti-(5/3t)j=>12i-4j=12/5*(5i-(5/3)j)=>t=12/5
Kuinkahan moni arvaa mitä nuo Dx ja Dy ovat?
Vektorien u ja v täytyy täyttää ehto u x v = 0 (tässä siis vektoritulo , "ristitulo").
Tämän voi sitten ilmaista determinantin avulla tai ilman. Voi kirjoittaa suoraan
u x v = ( (2 3a) (a-5) - ( -4) 5 ) k ( k = i x j ja tulon i- ja j-komponentit ovat nollia) eli jotta k-komponenttikin olisi 0 täytyy olla 3 a^2 -13 a 10 = 0 josta seuraa että a = 1 tai a = 10/3. Vielä on sitten katsottava että u = t v missä t > 0.Ristitulo olisi 0 silloinkin kun vektorit ovat vastakkaissuuntaiset eli kun u =t v missä t < 0.
Ihan yleisesti:
Jos meillä on vektorit A = a1 i a2 j a3 k ja B = b1 i b2 j b3 k niiden vektoritulon voi kirjoittaa suoraan
A x B = i (a2 b3 - a3 b2) j (a3 b1 - a1 b3) k (a1 b2 - a2 b1)
tässä siis käytetään parillisia permutaatioita (123) -> (231) -> (312) positiivisina ja parittomia permutaatioita (132) -> (213) -> (321) negatiivisina (tuo miinusmerkki ilmestyi niiden eteen) ja ajatellaan että i = 1 , j=2 ja k = 3.
Ei AnttiDeterin esitys sinänsä mitenkään virheellinen ollut vaikka oli siellä yksi a kun olisi jo pitänyt olla a:n arvo 10/3.Kirjoittelin vain selvennystä tuohon "determinanttijuttuun".
Ohman
Lisään vielä selvennyksen. Kun sanoin tuolla edellä, että "ajatellaan että i=1,j=2 ja k = 3 niin selkeämpää olisi ehkä ilmaista asia näin:
Otetaan kantavektoreille uusi merkintä : i = e(1), j = e(2) ja k = e(3).
Tällöin A x B = e(1) (a2 b3 - a3 b2) e(2)(a3 b1 - a1 b3) e(3) (a1 b2 - a2 b1)
Tuossa siis kantavektorien ja vektorien A ja B komponenttien indeksit permutoidaan kuten kuvasin.
Tässä voisi käyttää myös . permutaatiosymbolia p(r,s,t) (r,s,t = 1,2,3) joka saa arvon 1 kun (rst) on lukujen 1,2,3 parillinen permutaatio, arvon -1 kun kyseessä on pariton permutaatio ja arvon 0 muulloin. M;utta nyt alan siirtyä turhan kauaksi alkuperäisestä tehtävästä joten ei sen enempää tästä.
Ohman