Miten ratkaistaan polynomiyhtälö
x^3 18*x^2-291*x-5168=0?
x^3 18*x^2-291*x-5168=0?
Polynomiyhtälön ratkaiseminen?
Missionimpossibleko
28134
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 28
Vanhimmat
Kirjoitetaan se muotoon (x 16)(x-17)(x 19)=0, jolloin x=-16 tai x=17 tai x=-19.
Tuosta palakakkua-nimimerkin vastauksesta oli varmaankin paljon hyötyä kysyjälle! Kirjoitetaan vaan polynomi tuohon muotoon ja sillähän se selvisi.
Ohman
Kyllä se vastasi aloittaja kysymykseen. Ei kai ole tarkoitus, että koulutehtäviin annetaan täydellinen mallivastaus täällä. Ei oppilas opi mitää kopioimalla, vaan hänen on ymmärrettävä myös laskentatekniikka ratkaisuidean lisäksi.
Tottakai oppii, onhan sinustakin tullut ope. Yliopistotasolla ei mitään muuta tehdäkään kuin kopioidaan, täytyyhän sekin joskus opetella, ja mitä varhain sitä parhain.
ope13: Millä tavalla tuo valmis vastaus auttoi kysyjää keksimään miten nuo juuret löydetään?
Ohman
Siten, että esitettiin yksi ratkaisumalli, joka saattaa tehtävän yksinkertaisempaan muotoon. Oppilas todennäköisesti ymmärtää, että juuret nähdään suoraan yhtälön muodosta (x 16)(x-17)(x 19)=0. Hänen tehtäväksen jää soveltaa aikaisemmin opittua helpompaa asiaa, polynomin tekijöihin jakoa.
Kolmannen asteen polynomin jaetaan kai tekijöihin soveltamalla jotain seuraavista konsteista: a) näkemällä että yksinkertainen x:n arvo, esim 1 tai 2 toteuttaa yhtälön, jolloin päästään 2. asteen polynomiin, b) ryhmittelemällä sopivasti jolloin saadaan yhteinen tekijä ja alempiasteinen polynomi tai c) ratkaisemalla polynomin 0-kohdat. Voiko ope13 kertoa, millä koulukonstilla tuo polynomi jaetaan helposti tekijöihin.
ope13: Millä tavalla tuo vastaus, jossa yhtälön juuret annettiin valmiiksi ratkaistuina, auttoi kysyjää keksimään miten nuo juuret löytyvät?
Ohman
Hiukan ihmetyttää miten tuo on tarkoitettu ratkaistavaksi. Toki kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavat ovat taulukkokirjassa joten sistä kautta ratkeaa työllä. Jos olisi kysytty kokonaislukujuuria, silloin olisi voinut päätellä että ratkaisu löytyy jakamalla 5168 tekijöihin. Tietysti se on hyvä arvaus muutenkin koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja.
Näinhän se menee. Todetaan, että jos ko. polynomilla on rationaalinen ratkaisu, niin se on kokonaisluku, koska X^3:n kerroin on yksi. 5168 = 2^4 * 17 * 19, josta juuret löytyvät nopeasti kokeilemalla.
1. Mistä tiedät, että yhtälöllä on rationaalinen ratkaisu?
2.Tehdään nyt kuitenkin arvaus, että sillä on.Jos juuret ovat a,b ja c niin tiedetään, että alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
x^3 - (a b c) x^2 (ab bc ca) x - abc = 0
Samaistamalla nuo kertoimet niihin annettuihin saadaan yhtälöryhmä, joka ei ratkea yhtään helpommin kuin alkuperäinen yhtälö. Voitaisiin myös yrittää jakaa tuo polynomi (x - d):llä ja merkitä jakojäännös nollaksi.Johtaa vain alkuperäiseen yhtälöön.
3. Koska abc = 5168 = 2^4 * 17 * 19 voidaan sitten ruveta kokeilemaan eri lukuja jotka noista voi muodostaa, eri etumerkkivaihtoehdot mukaan lukien. Niitä on aika liuta, saa siinä kokeilla. Tuo tieto a b c = -18 auttaa kyllä mietinnässä.
Jos nyt sitten lopulta arvataan, että yksi juurista on -19, voidaan polynomi jakaa lausekkeella x 19 ja osamäärä on x^2 - x - 272. Kun tämä merkitään nollaksi ja ratkaistaan tuo toisen asteen yhtälö saadaan ne kaksi muuta juurta 17 ja -16.
4. Aikamoista konstailua siis vaikka juuret lopulta löytyvätkin. Enkä tiedä, miten tällaiset "vippaskonstit" auttavat opiskelijaa kolmannen asteen yhtälön ratkaisemisessa yleisessä tapauksessa. Säälin oppilaita joiden opettajat pitävät tällaisia konsteja hyvinä vaikka voihan tällaisesta konstista noin sivulauseessa opetuksen ohessa mainita.
Ohman
T
Entä jos yhtälö olisi ollut x^3 18*x^2-291*x-5186=0 (huom. viimeisen termin kaksi viimeistä numeroa vaihtuneet). Silläkin on kolme reaalilukuratkaisua. Miten Ope13 löytäisi ratkaisut ilman laskimia ja kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavaa?
Tämä x^3 18*x^2-291*x-5186=0 ratkaiseminen ei kuulu ihan yleissivistävän matematiikan alueelle. Ratkaisisin sen kynällä ja paperilla seuraavasti. Aluksi totean, että koska yhtälöllä ei ole triviaalia ratkaisua 0 tai 1 ja koska 5186:lla on vain kaksi tekijää, niin yhtälöllä ei tällöin ole rationaallista ratkaisua. Näin ollen ilman kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaavaa on tyydyttävä laskemaan numeerinen likiarvo sopivalla tarkkuudella. Valitsen laskentamenetelmäksi vaikkapa Newtonin numeerisen menetelmän, sillä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavahan on käytössäni. Aloituspisteiksi valitsen arvot funktion 3x^2 36x-291 nollakohtien -6-sqrt(133) ja sqrt(133)-6 molemmin puolin. Vaikkapa -19, -16, 4 ja 7. Puolentunnin kynän savuttamisella luultavasti pääsee muutaman desimaalin tarkkuuteen.
Kukaan tämän palstan lukijoista ei ilmeisestikään osaa ratkaista kolmannen asteen yhtälöitä. Tämä on varmaan seurausta siitä, että kouluissamme ja myös opettajankoulutuksessamme yliopistotaso mukaan lukien on vuosien ja vuosikymmenien ajan yritetty toitottaa sitä, että kolmannen ja neljännen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on äärettömän vaikeaa?
Yleensä matematiikassa asiat kannattaa tehdä mahdollisimman yksinkertaisesti. Minusta on paljon helpompi kertoa (x 16)(x-17)(x 19) auki kuin sieventää ratkaisukaavat loppuun asti. Teknisesti 3. ja 4. asteen ratkaiseminen on vaan kaavaan sijoittamista ja rankkaa sieventämistä.
Omissa opinnoissa ei toitotettu koskaan, mikä matematiikassa on vaikeaa ja mikä ei. Asiat vaan annettiin todistuksineen ja oli omalla vastuulla, oppiiko ne vai ei.
Ensinnäkin, nykyäänhän oppilailla on laskimet ja Wolframit joilla tuo yhtälö ratkeaa hetkessä. Koulukursseissa opetetaan kolmannen asteen yhtälöiden ratkaisemista tietyissä erityistapauksissa mutta ne eivät sovellu tuohon yhtälöön. On epäselvää, mikä opetuksellinen idea tuohon tehtävään sisältyy.
Loppukaneetti: Nyt kirjoittelet omiasi. Ei tässä siitä ollut kyse, ettei osattaisi ratkaista tuota yhtälöä.Minä ainakin kritisoin tässä sitä, että mielestäni alkuperäiselle kysyjälle ei ollut kovin opettavaista antaa vain valmis vastaus vaan parempi olisi ollut kertoa menetelmä jolla ratkaisuun päädytään.
Ohman
Ohman antoi hyvän kuvauksen niistä tempuista, joilla kokonaislukukertoiminen kolmannen asteen yhtälö voidaan ehkä ratkaista. Nykyisenä tietokoneiden aikakautena herää kuitenkin kysymys, olisiko lukion matematiikassa jo aika siirtyä näistä tempuista numeeristen menetelmien alkeisiin, kosk jo peruskoulussakin aletaan vähitellen opettaa ohjelmointia.
Esimerkiksi yhden muuttujan yhtälöt voidaan ratkaista helposti puolitusmenetelmällä, joka yksinkertaisuudessaan on seuraava:
Etsitään ensin väli, jonka toisessa päässä funktio on positiivinen ja toisessa negatiivinen. Tällä välillä on tietysti ainakin yksi juuri.
Puolitetaan väli. Tutkitaan kummallako osavälillä funktiolla on merkinvaihto. Tämä jaetaan taas kahtia ja toistetaan sama tällä osavälillä. Tatä jatketaan kunnes väli on riittävän pieni.
Menetelmä voi epäonnistua, jossa kyseessä on moninkertainen nollakohta. Jos alkuperäisellä välillä on useampia nollakohtia, niin iteraatio voi myös karata. Mutta tämähän on kaikkien numeeristen menetelmien ongelma. Ne toimivat vain riittävän säännöllisissä tapauksissa.
>olisiko lukion matematiikassa jo aika siirtyä näistä
> tempuista numeeristen menetelmien alkeisiin....
Riippuu tavoitteista. Lukio on kuitenkin yleissivistävä koulutustaso, jolloin ei missään nimessä pidä *siirtyä* numeerisiin menetelmiin - mikäli se tarkoittaisi jonkin nykyisen poisjättämistä. Toki numeeristen menetelmien alkeet valinnaisena lisäkurssina olisi avartava niille, jotka jatkavat myöhemmin matematiikan opintoja. Harvassa ammatissa tarvitsee tuntea syvällisemmin numeeristen menetelmien toimintatapoja; hyödyllisemmäksi näkisin taidon käyttää niitä ja muita matemaattisia ohjelmistoja. Kaikkea ei kuitenkaan voi mahduttaa lukio-opintoihin.
Kyllä lukiokurssien sisällössä on poisjätettävääkin, kuten vaikkapa taiturointi monimutkaisten itseisarvoepäyhtälöiden kanssa. Nykyään tietokoneen ohjelmointi ja sen käyttö myös matemaattisissa tehtävissä kuuluu jo yleissivistykseen. Digitalisaatio tulee joka paikkaan voimalla. Koulujenkin olisi jo aika modernisoida opetussisältöjään.
Mitä tulee erityisesti numeerisiin menetelmiin, niin kyllä ne tekniikassa ja luonnontieteissä ovat raskaassa käytössä. Jonkin tietyn matemaattisen ohjelmiston opettaminen ilman mitään hajua menetelmien perusteista ei riitä. Ensiksikin näissä ohjelmistoissa on virheitä. Ne myös vaihtuvat ajan kuluessa.
Itseisarvoepäyhtälöt ovat keskeisiä muun muassa lukujonojen ja funktioiden raja-arvoissa ja sitä kautta derivaatoissa. Muös numeerisissa menetelmissä itseisarvoepäyhtälöt ovat tärkeitä. Toisinaan voi joutua todistamaan, että joku virhe on varmasti tarpeeksi pieni tai että tehdas kestää varmasi tietyn ajan tietynsuuruista tulipaloa katon romahtamatta.
Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava on Niccolò Tartaglian keksimä kaava ratkaista yhtälöt muotoa
ax^3 bx^2 cx d=0,
missä a\not =0. Kun yhtälö jaetaan a:lla ja sijoitetaan x=y-b/3a, saadaan yhtälö muotoon y3 py q=0. Jos p=0 nähdään, että yhtälöllä on ratkaisuna y=q^(1/3). Siten y3 py q=0 on jaollinen polynomilla y-q^(1/3) ja saatu toisen asteen yhtälö on helppo ratkaista. Keskitytään siis tapaukseen, missä p\not =0.
Sijoittamalla y=u v yhtälöön y3 py q=0 saadaan yhtälö muotoon
u^3 v^3 (3uv p)(u v) q=0.
Nyt voidaan valita u ja v siten, että 3uv=-p. Tällöin saadaan
u^ 3-\frac{p^3}{27u^3} q=0.
Tämä näennäisesti kuudennen asteen yhtälö palautuu sijoituksella t=u3 toisen asteen yhtälöksi. Kun nämä arvot on saatu, voidaan päätellä edellisten sijoituksessa saatujen muuttujien arvot ja lopulta polynomin juuret saadaan selville.
Ratkaisut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Suoraan yhtälön kertoimista juuret saadaan kaavoilla:[1] \begin{align}
x_1 =
&-\frac{b}{3 a}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c 27 a^2 d \sqrt{\left(2 b^3-9 a b c 27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
&-\frac{1}{3 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c 27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c 27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\\\
x_2 =
&-\frac{b}{3 a}\\
& \frac{1 i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c 27 a^2 d \sqrt{\left(2 b^3-9 a b c 27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
& \frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c 27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c 27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\\\
x_3 =
&-\frac{b}{3 a}\\
& \frac{1-i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c 27 a^2 d \sqrt{\left(2 b^3-9 a b c 27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}\\
& \frac{1 i \sqrt{3}}{6 a} \sqrt[3]{\frac{2 b^3-9 a b c 27 a^2 d-\sqrt{\left(2 b^3-9 a b c 27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3}}{2}}
\end{align}
Nämä ratkaisut pätevät sellaisenaan, jos kaikki kertoimet (a, b, c, d) ovat reaalilukuja ja lauseke \left(2 b^3-9 a b c 27 a^2 d\right)^2-4 \left(b^2-3 a c\right)^3, josta tässä otetaan neliöjuuri, on positiivinen (tai nolla). Jos tämä lauseke on negatiivinen, sen neliöjuuri on imaginaariluku, jonka imaginaariosa on positiivinen, ja lauseke, josta otetaan kuutiojuuri, on kompleksiluku. Kompleksiluvun kuutiojuuren reaali- ja imaginaariosat voitaisiin ratkaista muodostamalla niistä toinen kolmannen asteen yhtälö, mutta helpoimmin ne on laskettavissa muuntamalla alkuperäinen kompleksiluku Eulerin kaavan avulla muotoon reiφ, jolloin sen kuutiojuuri on \sqrt[3]{r} e^{{\frac{i \varphi}{3}}}
Latex:illa matemaattiset kuviot.
Taisi nyt kuitenkin olla Cardano, joka esitti yhtälön
x^3 a x^2 b x c = 0 ratkaisukaavan, ns. Cardanon kaavan.Tartaglia käsitteli sitä ennen tiettyjä erikoistapauksia. Cardanon kaavassa oli kuitenkin tietyt ongelmat.Esim. yhtälön
x^3 16 = 12 x ratkaisuksi tulee -4. Miksi ei 2?
Muitakin kummallisuuksia löytyi. Lisäksi kompleksiluvut eivät olleet vielä nykyiseen tapaan käytössä mutta tämä siis antoi sysäyksen kompleksilukujen käyttötarpeelle. Cardano joutui ottamaan neliöjuurta negatiivisesta luvusta ja kutsui tällaista tilannetta nimellä "casus irreducibilis".
En käy tähän kopioimaan juttuja oppikirjoista. Jos joku haluaa perehtyä algebrallisten yhtälöiden ratkaisemisen historiaan ja myös moderniin teoriaan niin Jean-Pierre Tignol :Galois' Theory of Algebraic Euations (World Scientific,2011) on yksi hyvä esitys noista asioista.
Turha tänne on noita ohjelmia kopioida.Jos tietokonetta halutaan käyttää niin esim. WolframAlpha ratkaisee nuo yhtälöt kun vain syöttää lausekkeen ja WA piirtää vielä polynomin kuvaajankin.
Tuon MitenRatkeaa - nimimerkin antaman yhtälön ratkaisuksi WA antaa
x1 = - 18,822
x2 = -16,193
x3 = 17,015
Ei Wolfram Alpha sentään näin virheellinen ole. Sain sillä tulokseksi aivan oikean kokonaislukuratkaisun. Tämä osoittaa tietokoneiden ja laskimien erään puutteen. Niillä tekee tavattoman helposti näppäilyvirheitä, tai käyttää väärin ohjelmistoa. Tietokoneohjelmistoihin ei voi koskaan täysin luottaa.
Tietokoneissa reaaliluvut esitetään 53 bitin tarkkuudella, joka vastaa vajaan 16 desimaalinumeron tarkkuutta. Pitkissä laskuissa tarkkuudesta voi häviä kaksikin numeroa. Jos lasketaan yhteen erimerkkisiä lukuja, jotka ovat itseisarvoltaan lähellä toisiaan, voi tarkkuuden menetys olla erittäin suurta.
Niinpä kriittisissä laskuissa kuten ydinvoimaloissa tai riippusilloissa pitää kaikki tarkistaa myös jollain toisella menetelmällä.
Anteeksi, luulin kyseessä olevan aloituksessa olevan tehtävän (yks pää kesät talvet). Ohman on varmasti ratkaisaisut oikein nimimerkin MitenRatkeaa antaman muutetun tehtävän.
Saat anteeksi! Koska tuo uusi tehtävä on hyvin lähellä alkuperäistä, eroaa vain pikkuisen siinä vakiotermissä,ja polynomi on jatkuva funktio niin on luonnollista että ratkaisut ovat lähellä noita alkuperäisen tehtävän ratkaisuja.
Ohman