Masto on 320m pituinen, se sijaitsee nyppylän päällä jonka korkeus on noin 130m merenpinnasta. Maston huippu on siis noin 450m merenpinnan yläpuolella. Katselen mastoa kerrostalon ikkunasta noin 70km päästä, kerrostalon ikkunasta 10-kerroksesta, joka on ehkä noin 35 metrin korkeudella katutasosta, katutason ollessa noin 10m merenpinnan yläpuolella, eli katselukorkeus merenpinnasta on 45m.
Voinko nähdä maston? Matemaatikot laskekaa, onko tämä teoriassa mahdollista.
Näen kiikareilla maston, jossain erittäin kaukana horisontissa. Iltahämärässä näin varsin selvästi, jopa paljain silmin, kaukaisen vilkkuvan valon maston huipulla, kuten kyseisessä mastossa on. Näin ollen olen melkoisen varma että kyseessä on tuo masto. Mutta haluaisin asialle vielä matemaattisen varmistuksen. Välillä ei pitäisi olla muita vilkkuvia mastoja.
Mutta teoreettinen laskelma tällaisesta, kiitos. Tässähän pitää siis ottaa huomioon, että sekä katsoja että kohde ovat tietyn verran merenpinnan yläpuolella. Maasto tietysti ei ole täysin suora, mutta kohtuu tasainen.
Voinko nähdä maston? Matemaatikot laskekaa, onko tämä teoriassa mahdollista.
Näen kiikareilla maston, jossain erittäin kaukana horisontissa. Iltahämärässä näin varsin selvästi, jopa paljain silmin, kaukaisen vilkkuvan valon maston huipulla, kuten kyseisessä mastossa on. Näin ollen olen melkoisen varma että kyseessä on tuo masto. Mutta haluaisin asialle vielä matemaattisen varmistuksen. Välillä ei pitäisi olla muita vilkkuvia mastoja.
Mutta teoreettinen laskelma tällaisesta, kiitos. Tässähän pitää siis ottaa huomioon, että sekä katsoja että kohde ovat tietyn verran merenpinnan yläpuolella. Maasto tietysti ei ole täysin suora, mutta kohtuu tasainen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Likimääräislaskelman perusteella on se masto mahdollista nähdä. Jos haluaisi tarkasti laskea, pitäisi tietää maaston korkeus katselupaikan ja kohteen välillä. Summittaisesti voi laskea niin että välimatkaa vastaava keskuskulma on noin 0,01 rad, keskuskulman sin on 0,01 ja cos on 0,99995.
Likimääräisesti maasto on tasaista. Katselupaikassa noin 10m merenpinnasta, ja kohdepaikassa noin 40m merenpinnasta. Nyppylä jonka päällä masto, on 130m merenpinnasta, mutta muutoin maasto on varsin tasaista koko välillä, nousten 10m:stä pikkuhiljaa 40m:iin. Eli nyppylä pitää ikäänkuin laskea osaksi mastoa, koska nyppylän laki on noin 90m korkeammalla kuin ympäröivä perusmaasto.
Se maston vilkkuvalo tangeeraa merenpinnan noin 75:n kilometrin päässä, ja sinä kun olit vaan 70 kilometrin päässä ja vielä paljon merenpintaa ylempänä, niin kyllä näkyy.
Noin pikaisesti laskettuna sinä näet 45m korkeudelta x1 = sqrt((R 45)^2 - R^2) = 23959m (kohta, jossa katse sivuaa meren pintaa). Toisaalta masto on 450m korkea, jolloin sen huipulta "katse" sivuaa meren pintaa etäisyydellä x2 = sqrt((R 450)^2 - R^2) = 75765m. Joten näkisit tornin vielä 23959 75765 = 99724m eli 99,7 km päästä.
Välissä ei ole merta vaan maata 10-40 m korkeudella merestä kysyjän viestin mukaan.
Koska näitä mastoja jatkuvasti kysellään, niin voidaan käyttää seuraavaa tarkastelua:
Ainakin ennen koulun geometriassa opetettiin pisteen potenssi ympyrän suhteen. Olkoon piste P, jonka kautta asetaan suora, joka leikkaa ymprää pisteissä A ja B. Silloin tulo |PA| * |PB| on vakio (siis sama kaikilla suorilla pisteen P kautta, jotka leikkaavat ympyrää). Tätä tuloa kutsutaan myös pisteen potenssiksi.
Todistus: On toinen suora, pisteen P kautta, joka leikkaa ympyrää pisteissä C ja D. Silloin kolmiot PAC ja PCB ovat yhdenmuotoiset, koska niillä yhteinen kulma pisteessä P ja kulmat ADC ja CBA ovat samaa kaarta AC vastavia kehäkulmia. Yhdenmuotoisuudesta seuraa:
|PA| / |PC| = |PD| / |PB|, josta saadaan edelleen
[PA| * |PB| = |PC| * |PD|.
Huomattakoon, että piste P voi olla myös ympyrän sisäpuolella.
Sitten se kuuluisa torniprobleema: Olkoon piste P tornin huippu. Tornin korkeus on h. Tornin huipun kautta asetetaan ympyrän (maapallon isoympyrän) halkaisija. Toinen suora on ympyrän tangentti, jolloin siis pisteet C ja D yhtyvät. Määrätään tangentin PC pituus. Olkoon R maapallon säde. Silloin edellisen mukaan
|PC|^2 = h * (2R h), eli tornin huipusta maapallon isoympyrälle asetetun tangentin pituus on sqrt(h*(2R h)).
Kun h on pieni verrattuna maapallon säteeseen, niin tangentin pituus on likimäärin sqrt(2*h*R).
Esimerkki: Uimarin silmät ovat 5 cm korkeudessa veden pinnasta. Kuinka kauas hän näkee järven pintaa. Edellisen mukaan etäisyys on
sqrt(0.05 * 1.2732E7) ~ 800 m.
Et ehkä näe sitä mastoa lainkaan. Näin ainakin jos olet ikkunattomassa kellarissa tai syvällä luolassa. Tai olet muutoin tajuttomassa tilassa.
Kun välissä on maata eikä merta, on otettava huomioon maaston korkeus ja lisäksi näköesteenä oleva puusto, tyypillisesti 15 m korkeana. Viestin perusteella maaston puuston korkeus kriittisessä kohdassa voi olla luokkaa 30 m eli selvästi katselupaikkaa alempana. Eli edellisten laskelmien mukaan maston kärjen näkeminen on mahdollista.
Kiitos vastauksista. Näin itsekin ajattelin, että kyllä se "juuri se" masto siellä näkyy. Kiikareilla tosiaan näkyy päivänvalossakin. Visuaalisen arvion mukaan noin puolet mastosta näkyy. Se on sitten eri asia kuinka iso osa mastosta näkyy matemaattisesti.
Wikipediasta löysin itsekin likimääräisen kaavan. Eli 3.57 x (neliöjuuri katsojan korkeus + neliöjuuri kohteen korkeus). Tässä siis katsojan ja kohteen korkeudet metreinä. Vastaus tulee kilometreissä, joka oli tässä tapauksessa reilut 99km.
Voiko maston näkyvän osan matemaattinen osuus olla suoraan verrannollinen 70/99. Siitähän tulisi vastaukseksi että noin 30% mastosta näkyy, ja 70% jää piiloon?