Uurnassa on viisi lätkää, joista kolme on merkitty 1:llä ja kaksi 4:llä. Henkilö nostaa satunnaisesti 2 lätkää ilman takaisinpanoa, ja saa palkkioksi niiden näyttämän euromäärän. Laske, kannataako henkilön maksaa 5 euron osallistumismaksu, ettei hän todennäköisesti jäisi tappiolle?
Ei meinaa onnistua
Saisko_vinkkiä_kiitos
18<50
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 18
Vanhimmat
Todennäköisesti "todennäköisesti" tarkoittaa tehtävässä pitkää sarjaa? Siinä tapauksessa kannattaa satsata korkeintaan tuoton odotusarvon verran.
Tuossa on 10 erilaista mahdollista lätkäparia , kun valinta tehdään palauttamatta. Merkitään X:llä 1-euroisten parien lukumäärää. Tällöin X:n tiheysfunktio noudattaa hypergeometrista jakaumaa, eli
f(x) = {(3Cx)[2C(2 - x)]}/5C2, kun x = 0, 1, 2. C = "yli", hitto noita sulkuja.
Jos X = x, henkilö saa u(x) = x 4(2 - x) = 8 - 3x euroa.
Tästä saadaan odotusarvo (Σ käy 0:sta 2:een)
E[8 - 3X] = Σ(8 - 3x)·f(x) = 44/10 eli 4.40 euroa.
Jos en töpännyt laskemisessa, niin 5 euron osallistumismaksu johtaa ajan myötä tappioon. Saattaa olla, että ratkaisuun pääsee jotain simppelimpääkin tietä.
Aika helposti voidaan löytää nuo mahdolliset 10 paria: kolme 1-1-paria, kuusi 1-4-paria ja yksi 4-4-pari, sama tulos: 44/10
Kiitos molemmille vastaajille, tuon tuplasutenöörin [;-)] tavan kyllä hoksasin jo itsekin, mutta menee turhan hankalaksi, jos noita pareja on vaikka sata. On tuo hypergeometrinenkin periaatteessa tuttu, mutta en heurekekannut yhdistää sitä tähän.
Kysymys Stat:lle: mistä kaivat tänne Suomi24:n viesteihin esim. sigman ja kertomerkkipisteen?
Kreikkalaiset kirjaimet saa esim. asettamalla yhdeksi oletuskieleksi kreikan ja vaihtamalla siihen merkin kirjoittamisen ajaksi. Windowsin käyttäjälle voi olla näppärämpi keino imuroida netistä charmap.exe ja tallentaa tehtäväpalkkiin. Charmap ei vaadi erillistä asennusta ja valitun merkin saa raahaamalla haluttuun tekstin kohtaan. Ohjelmasta löytyy merkkejä vaikka minkälaiseen vinkuintialaiseen tekstiin. Useimmissa Linux-distroissa vastaava tulee mukana tai ainakin löytyy pakettivarastosta.
Henkilö jää tappiolle jos hän nostaa kaksi 1-lätkää. Tämän tn = 3/5 x 2/4 = 6/20. Tn että ei jää tappiolle on 1 - 6/20 = 14/20 > 1/2.
Toisin: Henkilö ei jää tappiolle jos nostaa 2 4-lätkää tai yhden 4-lätkän ja yhden 1-lätkän. Tämän tn = 2/5 x 1/4 2/5 x 3/4 3/5 x 2/4 = 14/20
Ohman
Lisään vielä: Odotusarvo on 6/20 x 2 (3/5 x 2 /4 2/5 x 3/4) x 5 2/5 x 1/4 x 8 = (12 60 16) / 20 = 4,40. Mutta pelin tulos voi olla vain 2,5 tai 8 .Odotusarvo ei tässä ole oikea mittari vaan tuo ei-tappion tn joka siis on 14/20 > 1/2.
Ohman
Minä pähkäilin näin ilman kummempia laskemisia: sellaisia mahdollisia pareja, joissa voitto on alle 5:n, on 3 kpl, ja vähintään vitosen tuottavia 7 kpl. Siis ei-tappion tn on 7/10.
Se ei kyllä oikein valjennut, miksi odotusarvo antaa toisenlaisen johtopäätöksen. Pätisikö odotusasrvo, jos hommaa toistaa riittävän kauan?
Odotusarvon tehtävä on kertoa, mitä tapahtuu keskimäärin pitkässä juoksussa. Jos sinulle tarjotaan noppapeliä, jossa silmäluvuilla 1-5 voitat 5 euroa, mutta silmäluvulla 6 joudut maksamaan 500 euroa, lähdetkö pelaamaan peliä? Voitathan kuitenkin todennäköisyydellä 5/6.
Kuten havaitaan, monta kertaa toistettavan pelin tapauksessa on oleellista tietää todennäköisyyksien lisäksi myös voitto-/tappiorakenne.
Tämän ketjun ongelman tapauksessa ei nyt ole aivan selvää, mitä tehtävänlaatija on halunnut vastaukseksi. Tehtävä muistuttaa tyypillistä odotusarvoharjoitusta, mutta sen voi näin esitettynä tulkita suoraviivaisemminkin.
Statistician esitti yllä juuri varauksen , että tarkastelee asiaa "pitkänä sarjana", ja esitti myös elegantin ratkaisun. Tehtävä on tosiaan vähän epäselvä.
Pelaaja asettaa panokseksi 5 euroa ja hän voi saada pelin tuloksena 8 euroa eli voittaa 3 euroa, 5 euroa eli ei voita eikä häviä tai 2 euroa jolloin hän häviää 3 euroa.
2/5 x 1/4 x 3 2/5 x 3/4 x 0 3/5 x 2/4 x 0 3/5 x 2/4 x (-3) = (6 - 18) / 20 = -3/5. Tämä on siis voiton/tappion odotusarvo ja se on negatiivinen.
Ohman
Helpoimmin odotusarvon laskeminen onnistuu varmaankin symmetristä todennäköisyyskenttää käyttäen, ts. jokaiselle lätkälle annetaan oma identiteetti ja laaditaan satunnaiskokeen tulostaulukko:
|11144
-----------
1|x2255
1|2x255
1|22x55
4|555x8
4|5558x
Odotusarvoksi saadaan näin
Ex = (6*2 12*5 2*8)/20 = 88/20 = 22/5 = 4,4.
Odotusarvo saadaan ihan triviaalisti siten kuin laskin.
Mutta tuo 4, 4 on pelissä saadun simäluvun odotusarvo. Pelaajan voiton odotusarvo on tuo -3/5 minkä laskin.
Tämä tehtävä ei ole "epäselvä". Se on päinvastoin hauska ja opettavainen. Tn että pelaaja ei häviä oli 7/10 mutta pelaajan tuloksen odotusarvo on silti negatiivinen. 3:n euron voiton tn on 1/10, 0-euron 6/10 ja 3-euron tappion tn on 3/10 ja voiton odotusarvo siis -6/10 = -3/5 kuten jo laskin.
Häviön suuruus siis merkitsee. Jos kärjistetään, niin vaikka tn että tappiota ei tule olisi tuo 7/10 mutta tappion suuruus olisi vaikkapa miljoona lienee helppo ajatella tätä asiaa
Ohman
Tässä kysytään kannataako henkilön maksaa 5 euron osallistumismaksu, ettei hän todennäköisesti (tulkinta: peliä toistettaessa) jäisi tappiolle? Koska odotusarvoa ei kysytä, ei sitä tarvitse laskea.
Todetaan, että mitkään 1-4 tai 4-1 parit eivät vaikuta kannattavuuteen ja että kuudessa tapauksessa (1-1-parit) jää 3 euroa tappiolle. Kahdessa tapauksessa (4-4-parit) 3 euroa voitolle. Selvä tapaus, ei kannata.
Miten mahdoit saada tuollaiset parien lkm:t? Kyllä 1-1 -pareja on 3 kpl, 1-4/4-1 -pareja 6 kpl sekä yksi 4-4 -pari. Valintahan suoritettiin palauttamatta.
Kysytyn asian kannalta ei ole vaikutusta sillä, lasketaanko tapauksia vai pareja.
Tapaukset yllä ovat nostoja järjestys huomioiden. Jos ykköspallot ovat a,b, ja c, niin mahdolliset kahden pallon nostotapaukset näiden osalta ovat ab, ac, bc, ba, bc ja ca, eli kuusi kappaletta kun järjestys huomioidaan. Toisaalta jokaista xy kohti on on olemassa tapaus yx, jossa pallot nostetaan eri järjestyksessä ja joka on summan kannalta sama. Nämä kaksi tapausta muodostavat parin. Pareja on siis puolet vähemmän.
Anteeksi, että aiheutin hämmennnystä huonolla tehtävänasettelulla. Tehtävä on amerikkalaisessa kirjassa ja sikäläiseen tyyliin huomattavan monisanainen, joten yritin poimia siitä olennaiset. Jäi pois lopusta "in the long run", joka onkin tässä tärkeä. Tehtävä on kirjassa odotusarvon yhteydessä, kuten yksi vastaaja arvelikin.
1. Olkoon X pelissä tietyllä kerralla tuleva pistemäärä. Se kertoo samalla sen montako euroa pelaaja saa. X on satunnaismuuttuja. Joka kerta on maksettava pelin hinta P = 5 joka on siis vakio.
X saa arvon 8 todennäköisyydellä 2/5 x 1/4 = 1/10, arvon 5 todennäköisyydellä 2/5 x 3/4 3/5 x 2/4 = 6/10 ja arvon 2 todennäköisyydellä 3/5 x 2/4 = 3/10. Tn että ei tule tappiota on 7/10 > 1/2.Ja E(X) = 4,40.
Minä ja monet muut laskimme, että E(X) = 4,40.Lisäksi minä laskin, että E(X - P) = -3/5 = - 0,60.
Nyt -0,60 = E(X - P) = E(X) - P = 4,40 - 5,00 = - 0,60. Tämä sitoo yhteen nämä kaksi tulosta.
2. Ihmettelin, miksi täällä toistettiin ja korostettiin tuota ilmaisua "pitkässä sarjassa". Eikös se normaali todennäköisyyden tulkinta ole juuri tuo frekvenssitulkinta? Laskettavan tapauksen suhteellinen frekvenssi lähenee "pitkässä sarjassa" tuota todennäköisyyttä.Yhden kokeen tuloksesta tn ei paljon kerro. Miksi tätä itsestään selvää asiaa tässä useampikin kirjoittaja halusi korostaa?
3. Minun mielestäni ei tehtävässä eikä sen asettelussakaan ollut mitään vikaa. Hauska ja opettavainen tehtävä. Opettavainen siksi, kuten aiemmassa viestissäni jo sanoin, että vaikka tn että "ei tule tappiota" on 7/10 > 1/2 niin peliä ei kannata pelata koska pelaajan saaman voiton (tulos - pelin hinta)odotusarvo on negatiivinen.
Ohman
Taisit ensin olla ylempänä toista mieltä (henkilö ei jää tappiolle tn:llä 14/20) :-). Siis opettavainen tehtävä todella!