Preppaan kevään kurssin rästitenttiin. Vanhoissa tenttitehtävissä on tuollainen:
Olkoot x1, x2 ja x3 keskenään stokastisesti riippumattomia satunnaismuuttujia, joilla on sama tiheysfunktio
f(x) = 3x^2, kun 0 < x < 1, ja 0 muualla.
Laske todennäköisyys, että täsmälleen kahden muuttujan arvo on suurempi kuin 1/2.
Osaan kyllä mielestäni operoida todennäköisyyksillä ja tiheysfunktiolla ihan kohtuullisesti, mutta tämä vaan nyt ei ota onnistuakseen. Sitä kautta olen yrittänyt, että lasken ensin integroimalla tn:n, että x on jokaiselle < 1/2, mutta siihen se tyssää. Kiitollinen vinkistä!
Olkoot x1, x2 ja x3 keskenään stokastisesti riippumattomia satunnaismuuttujia, joilla on sama tiheysfunktio
f(x) = 3x^2, kun 0 < x < 1, ja 0 muualla.
Laske todennäköisyys, että täsmälleen kahden muuttujan arvo on suurempi kuin 1/2.
Osaan kyllä mielestäni operoida todennäköisyyksillä ja tiheysfunktiolla ihan kohtuullisesti, mutta tämä vaan nyt ei ota onnistuakseen. Sitä kautta olen yrittänyt, että lasken ensin integroimalla tn:n, että x on jokaiselle < 1/2, mutta siihen se tyssää. Kiitollinen vinkistä!
Vastaukset 7
Vanhimmat
Olkoon p = Pr(xi > 1/2) (i = 1,2,3). Sitten binomitodennäköisyyden mukaan
Pr(tasan kaksi muuttujista > 1/2) = C(3,2) * p^2 * (1-p).
Menee näin, kun aloitetaan samalla tavalla kuin sinä. Integrointi käy 0:sta (1/2):een.
P(x ≤ 1/2) = ∫ 3x^2 dx = 1/8.
P (x > 1/2) = 1 - 1/8 = 7/8.
P( kaksi kolmesta > 1/2) = (3C2) · (7/8)^2 · (1/8) = 147/512 ~ 0.287. C = "yli"
Vähän oudon näköinen tulos, toivottavasti en tehnyt laskuvirhettä. Tuolla systeemillä homma joka tapauksessa ratkeaa. Edellinen vastaajakin jo kertoi viimeisen vaiheen idean.
Kiitos molemmille! Hitsin vitsi, kun en älynnyt ottaa binomijakaumaa käytöön, vaan yritin epätoivoisesti tuhertaa kaiken maailman ehdollisilla todennäköisyyksillä. Alkuosa kyllä oli helppo. Sain saman "oudon" tuloksen kuin Statistician.
Tässä toisenlainen ratkaisu, joka vaatii kykyä kolmiulotteiseen ajatteluun.
Kun olet todennut, että P(x ≤ 1/2) = 1/8, kuvittele mielessäsi yksikkökuutiota joka koostuu 8*8*8 palasta. Kukin kuution akseli siis vastaa yhtä satunnaismuuttujaa, ja sen tilavuus yhdistettyä kertymäfunktiota. Lähinnä origoa oleva pala vastaa todennäköisyyttä, että kaikki saavat arvon ≤ 1/2, ja uloin 7*7*7 pala sitä että kaikki ylittävät 1/2. Kysytty todennäköisyys on kolmella sivulla olevat 7*7 tahkot.
Näiden tilavuuden osuus kokonaistilavuudesta on 3*7*7 / 8^3, eli kysytty tn.
Määritellään tapahtumat
A:=(X1 > 0,5); B:=(X2 > 0,5); C:=(X3 > 0,5)
Nyt kysytään tn (totea Venn-diagrammilla)
P(A∩B) P(A∩C) P(B∩C) - P(A∩B∩C)
= P(A)P(B) P(A)P(C) P(B)P(C)
- P(A)P(B)P(C)
Riippumattomille tapahtumille näin. Nyt tapahtumat ovat lisäksi symmetrisiä (tiheysfunktio kaikilla sama), eli
P(A) = P(B) = P(C) = P(Xi > 0,5)
Jolloin kysytty tn saa muodon
3 × P(Xi > 0,5)^2 - 3 × P(Xi > 0,5)^2
Muokkaamalla tätä hieman päästään tutunnäköiseen muotoon
3 × P(Xi > 0,5)^2 × [1 - P(Xi > 0,5)]
Sieltä puuttui kerroin kolme A:n, B:n ja C:n leikkauksen edestä.
Ja toinenkin virhe on mut viimenen rivi on oikein xD