Hei,
Osaisko joku auttaa seuraavassa tehtävässä? Jotenkin tosi vaikea lähteä aloittamaan:
Eräs satelliitti (massa m) kiertää Maata ympyräradalla, jonka säde on
n-kertainen Maan säteeseen R nähden. Ilmakehä ja Maata myös
kiertävä kosminen pöly aiheuttavat satelliittiin sen nopeutta
vastustavan voiman F = alfa*v^2, missä v on satelliitin ratanopeus.
Määritä kauanko satelliitilla kestää ennenkuin se törmää Maan
pintaan. Voit olettaa että alfa on niin pieni että satelliitin rata on koko
ajan ympyrän muotoinen.
Osaisko joku auttaa seuraavassa tehtävässä? Jotenkin tosi vaikea lähteä aloittamaan:
Eräs satelliitti (massa m) kiertää Maata ympyräradalla, jonka säde on
n-kertainen Maan säteeseen R nähden. Ilmakehä ja Maata myös
kiertävä kosminen pöly aiheuttavat satelliittiin sen nopeutta
vastustavan voiman F = alfa*v^2, missä v on satelliitin ratanopeus.
Määritä kauanko satelliitilla kestää ennenkuin se törmää Maan
pintaan. Voit olettaa että alfa on niin pieni että satelliitin rata on koko
ajan ympyrän muotoinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Taas syysloman sekopääprovo. Vastaan kuitenkin. Siinä on muuttujat m,n,R ja alfa - v voidaan laskea jos haluaa. vastauksena voidaan todeta alfan suuruusoletuksen huomioiden, että kun n>1 sateliittilla kestää iäisyyden, ennen kuin se törmöö maahan.
Tuossa alfaa ei voi olettaa vakioksi sillä se riippuu voimakkaasti kiertosäteestä. Lisäksi pitää ottaa huomioon impulssimomentin säilymislaki. Tulee aika monimutkainen diffisyhtälö.
Ei tule monimutkainen, koska oletettiin, että "satelliitti (massa m) kiertää Maata ympyräradalla" ja "alfa on niin pieni että satelliitin rata on koko ajan ympyrän muotoinen."
Tuosta on helppo johtaa alfan suuruus.
Aivan. Jos sateliitin rata jollain ajanhetkellä on jokin muu, kuin alkuperäinen rata, välillä on oltava ratakierros, jolla rata ei ole ollut ympyrän muotoinen. Koska rata alkuehtojen mukaan kuitenkin on koko ajan ympyrän muotoinen, sen on oltava alkuperäinen rata, jolloin alfan on oltava nolla.
Minä komppaan. Jotta satelliitti yleensä tulisi alas, on sen radan oltava jokin muu kuin ympyrä, esimerkiksi spiraali.
Sinänsä aloittajan oletus satelliitin nopeuden hidastumisesta ilmakehän yläkerroksissa on aivan oikea. Tosin ilmakehän tiheyden muutos korkeuden funktiona on kohtuullisen epälineaarinen ja ilmakehä on korkealla todella harvaa, ks.
http://www.engineeringtoolbox.com/international-standard-atmosphere-d_985.html
Tässä koulutusmateriaalia asiaan perehtymiseksi:
http://cosmos.phy.tufts.edu/~zirbel/laboratories/Satellite.pdf
http://www.ips.gov.au/Category/Educational/Space Weather/Space Weather Effects/SatelliteOrbitalDecayCalculations.pdf
Kyseeseen tulevat energiat ovat satelliitin liike-energia, painovoimapotentiaalienergia ja ilmanvastukseen kuluva energia. Derivoimalla ne ajan suhteen saan:
m*v*(dv/dt) = -m*g*(R^2/r^2)*(dr/dt) - a(r)*v^3
Pyörimismäärän säilyminen
m*v*r=vakio -> dv/dr=-v/r
Joten aika monimutkaiseksi menee.
Jos alfa on vakio täästä saa laskettua sen ajan, kun pitää pystysuuntaista nopeutta Vy vapaan putoamisen rajanopeutena maan pinnan lähellä , Vy=sqrt(mg/alfa)
Vx tulee liikeyhtälöstä m*dVx/dt=-alfa*(Vx)^2, alkuehdolla t=0, Vx=V1
Liikemäärämomentin säilymisellä tulee yhtälö : V1*H=V2*R, jossa
V2=sqrt((Vx)^2 (Vy)^2), H on korkeus maapallon keskipisteestä =n*R, R= maapallon säde.
Onkohan tässä kyse alaspäin aukeavasta paraabelista, jonka huippu on kohdassa 0, nR
ja jonka toisen asteen termin kerroin on -alpha, ja sitten kysytään , missä se leikkaa vaaka-akselin ? Koordinaatisto on siis t, h ja paraabelin yhtälö keskipistemuodossa:
h-n*R=-alpha*(t-0)^2.
Yhtälö on_: h=-alpha*t^2 n*R. Silloin kun h=0, niin t = n*R/alpha
piti olla t^2 = n*R/alpha, josta t = sqrt(n*R/alpha)
Ei se kyllä näinkään ole, mutta satavarmasti tämä tehtävä on ihan jotain muuta kuin avaruuslennon mekaniikkaa...
Voisi likimääräisesti ratkaista niin että määritellään ensin lähtötason ympyrärata (v, r) ja lasketaan sillä ilmanvastukseen menevä energia ( a(r)*v^2*n*2*pii*r ) joidenkien kierrosten aikana. Vähennetään tuo energia kokonaisenergiasta (m*v^2/2 - m*g*(R^2/r) ) ja lasketaan uuden ympyräradan parametrit v ja r. Ja niin edelleen.