Oletetaan, että X ~ U(0,2) ja Y ~ Exp(λ) siten että E(Y) = 2. Lisäksi X ja Y ovat riippumattomia. Laske
a) E(X-3Y)
b) Var(X Y)
c) Cov(X, X XY)
Vastaukseni:
a) -5
b) 13/3
c) 1
Oletteko samaa mieltä?
a) E(X-3Y)
b) Var(X Y)
c) Cov(X, X XY)
Vastaukseni:
a) -5
b) 13/3
c) 1
Oletteko samaa mieltä?
Vastaukset 11
Vanhimmat
Nopeasti päässälaskuna ainakin b-kohta on oikein.
E(X - 3Y) = E(X) - 3 E(Y)
Var (X Y ) = Var(X) Var(Y)
Cov(X,X XY) = E(X^2 X^2Y) - E(X) E(X XY) = E(X^2) E(X^2) E (Y) - E^2(X) - E^2(X) E(Y) = Var(X) E(Y) Var(X) = Var(X) ( 1 E(Y))
Nuo merkintäsi eivät ole minulle tuttuja vaikka olen lukenut aika montaakin todennäköisyyslaskennan kirjaa. Uskallan nyt kuitenkin olettaa, ettå X jakautuu tasaisesti välille (0,2) ja Y:llä on eksponentiaalinen jakautuma ja siis 1/lambda = 2.
Tällöin E(X) = 1 , Var(X) = 1/3, E(Y) = 2 ja Var(Y) = 4. Tällöin
E(X - 3Y) = 1 - 6 = -5
Var(X Y) = 1/3 4 = 13/3
Cov(X,X XY) = 1/3 ( 1 2) = 1
Edellä olen käyttänyt hyväksi että X ja Y olivat riippumattomia.
Oikein siis laskit.
Ohman
Kiitoksia molemmille vastanneille.
Vielä toinen tehtävä:
Olkoon X = Y³ ja Y tasaisesti jakautunut välille (0,1). Laske E(X) ja Var(X).
Sain 1/4 ja 9/112. Menikö oikein?
Kannattaa opetella tarkastamaan laskut itse.
En saa mistään oikeita vastauksia, mutta olen kyllä käynyt kaikki tekemäni vaiheet läpi.
E(X) = Int(0 <= y <= 1)(y^3 dy) = 1/4.
Var(X) = E(Y^6) - (E(Y^3))^2
E(Y^6) = Int (0 <= y <= 1) (y^6 dy) = 1/7
Var(X) = 1/7 - (1/4)^2 = 1/7 - 1/16 = (16 - 7) / 112 = 9/112.
Oikein siis laskit.
Ohman
No jos olet käynyt kaikki vaiheet läpi huolellisesti, niin sittenpä laskuun ei jää aukkoa virheelle.
Kiitos jälleen :)
Voihan ratkaisu silti olla virheellinen, vaikka kävisi kaikki vaiheet läpi sataan kertaan. Varmasti itse kukin on joskus sokea omille virheilleen. Nämä tehtävät olivat sitä paitsi _erittäin_ tärkeitä.
Riippuu miten käy läpi. Minä tarkastan jokaisen yksityiskohdan, onko lauseen ehdot voimassa tai onko sievennyssääntö pätevä. Veikkaan, että kaikki voivat opetella huolelliseksi matematiikassa. Kun laskee kaikki yksityiskohtaisesti läpi, ei näitä sokeita kohtia jää lainkaan.