Tiedetään, että f(0)=a ja f'(0)=b. Määritä annettu raja-arvo lukujen a ja b avulla.
A) lim(h->0) (f(h)-f(0))/h
B) lim(h->0) (f(2h)-f(0))/h
C lim(h->0) (f(h)^2-f(0)^2)/h
Joo eli tuommonen tehtävä löyty lukion pitkän matematiikan differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssin kirjasta. Itellä ei jotenkin sytytä, että kuinka näitä täytyisi lähteä ratkaisemaan. Toivottavasti otatte selvän merkinnöistäni ja kiitos jo etukäteen jos joku vaivautuu tätä pähkäilemään.
A) lim(h->0) (f(h)-f(0))/h
B) lim(h->0) (f(2h)-f(0))/h
C lim(h->0) (f(h)^2-f(0)^2)/h
Joo eli tuommonen tehtävä löyty lukion pitkän matematiikan differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssin kirjasta. Itellä ei jotenkin sytytä, että kuinka näitä täytyisi lähteä ratkaisemaan. Toivottavasti otatte selvän merkinnöistäni ja kiitos jo etukäteen jos joku vaivautuu tätä pähkäilemään.
Vastaukset 6
Vanhimmat
A) Tämä on yksinkertaisesti derivaatan f'(0) määritelmä eli kysytty limes on f'(0) = b.
B) lim (f(2h) - f(0))/h = 2 lim (f(2h) - f(0))/(2h) = 2 f'(0) = 2 b. Tässä siis taas käytin derivaatan määritelmää mutta h:n sijalla oli 2h mikä ajaa saman asian.
C) lim (f(h)^2 - f(0)^2)/h =lim(f(h) f(0)) lim (f(h) - f(0))/h = 2 f(0) f'(0) = 2 a b-.
Huomaa, että tässä on yhdistetyn funktion f(x)^2 derivaatta pisteessä x= 0 joka yhdistetyn funktion derivoimissäännön mukaan on d/dx((f(x)^2) = 2 f(x) f'(x). Kun derivaatta lasketaan pisteessä x = 0 saadaan tuo 2 a b.
Ohman
Lisäkommentti: Myös B-kohdassa on kyse yhdistetyn funktion derivoinnista. Meillä on g(x) = 2 x ja sitten f(x) joten yhdistetty funktio f(g(x)) = f(2x).
Ketjusäännön mukaan on d/dx(f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x) = f'(2x) 2 ja pisteessä x = 0 tällä on arvo 2 f'(0) = 2 b.
Ketjusääntö on syytä jokaisen oppia ja myös sisäistää miten se oikein toimii. Siinä siis ensin lasketaan f:n derivaatta f'(x) ihan tavalliseen tapaan mutta näin saatavaan lausekkeeseen sijoitetaan x:n tilalle g(x). Näin saatu lauseke kerrotaan derivaatalla g'(x).
Tuossa C-kohdassa oli se "ulompi" funktio s(x) = x^2 ja "sisäfunktio" f(x) ja siis yhdistetty funktio s(f(x) = f(x)^2. Ketjusäännön mukaan tämän derivaatta on 2 f(x) f'(x) ja pisteessä x = 0 tämä derivaatta on siis 2 a b.
B- ja C-kohdissa nämä yhdistetyn funktion derivaatat siis kuitenkin laskettiin suoraan derivaatan määritelmästä, tuosta erotusosamäärän limeksestä.
Ohman
Jotenkin erikoista, että miten a)-kohtaa ei osattu. Siis tuohan on suoraan määritelmä, joten tehtävän voi ratkaista ihan avaamalla oppikirjan derivaatan kohdasta. Tällaistako on lukiolaista taso nykyään?
"Tällaistako on lukiolaista taso nykyään?"
Kyllä. Huomaa erityisesti, että tämäkin tehtävä oli syventävän kurssin asiaa. Pakollisilla kursseilla ei ole näin haastavia tehtäviä.
on niin yksinkertaista että on monimutkaista... Mutta onnkesi on kaltaisiasi matikkaneroja :-)
Juu no itsellä pitkän matikan kurssit ovat menneet arvosanoin 5-6, että älä vedä minun osaamisestani johtopäätöksiä, että millainen lukiotaso on nykyään. tämäkin tehtävä löytyy ihan perustehtävistä.
Terveisin aloittaja