Paraabelin pisteet koordinaatisto ovat seuraavat: A = (-2, 0), B = (0, -4) ja C = (4, 0).
Niin mikä on funktion kuvaajan lauseke? Miten se saadaan selville?
Niin mikä on funktion kuvaajan lauseke? Miten se saadaan selville?
Paraabeli koordinaatistossa
parabeli
13162
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Yleinen paraabelin yhtälö on muotoa y = ax² bx c. Sijoitetaan annetut pisteet yhtälöön ja ratkaistaan syntyneestä yhtälöryhmästä vakiot a, b ja c.
Saisiko selvennystä?
Tuo vain jos paraabeli on symmetrinen y-akselin suuntaisen suoran kanssa. Mutta näinhän ei yleisesti ole. Jos vaikka kierrät koko koordinaatistoa 45 astetta, niin paraabelin akseli on tällöin suoran y=-x suuntainen (alkuperäisen koordinaatiston suhteen).
Se, joka opiskelee mainitsemiasi vinossa asennossa olevia paraabeleja, osaa jo perusasiat eikä ole täällä kyselemässä joutavia.
a*(-2)^2 b*(-2) c=0
a*0^2 b*0 c=-4
a*4^2 b*4 c=0
Tuosta yhtälöryhmästä ratkeaa.
Yksinkertaisemmin tehtävä menee kuitenkin näin:
Nollakohdat: x=-2 ja x=4
yhtälö: y=a(x 2)(x-4)
--> y=1/2(x 2)(x-4)
Tässä olisi jotain vähemmän sekavaa joka liittyy tähän:
https://www.doria.fi/bitstream/handle/10024/61608/gradu2008Kuparinen.pdf?sequence=1
Yhdenkään tyypin neuvoista en ole tähän mennessä tajunnut yhtään mitään!
Kannattaa laajentaa tajuntaansa lukemalla matematiikan kirjaansa polynomien ja paraabelin kohdalta.
Kun on laittanut hyvän linkin, kannattaa lukea sen sisältö itsekin. Ks. sivu 53, esimerkki 20.
Paraabeli kulkee pisteiden (-2, 0) ja (4, 0) kautta, joten sen nollakohdat ovat -2 ja 4.
Näin ollen paraabelin yhtälö on muotoa y = a(x 2)(x - 4).
Lisäksi paraabeli kulkee pisteen (0, -4) kautta, joten -4 = a * 2 * (-4) <=> a = ½.
Vastaus: y = ½(x 2)(x - 4) = ½x² - x - 4
Esitetyssä tehtävässä voidaan käyttää hyväksi sitä, että kaksi pisteistä oli parabelin nollakohtia. Seuraavassa on yleinen ratkaisu:
Parabelin on kuljettava pisteiden (x1,y1), (x2,y2) ja(x3,y3) kautta. Vaaditaan lisäksi, että x-koordinaatit ovat kaikki erisuuria.
Muodostetaan toisen asteen Lagrangen polynomi
y1 *((x - x2)*(x - x3)) / ((x1 - x2)*(x1 - x3))
y2 * ((x - x1)*(x - x3)) / ((x2 - x1)*(x2 - x3))
y3 * ((x - x1)*(x - x2)) / ((x3 - x1)*(x3 - x2)).
Olkoon esimerkiksi x = x2. Silloin ensimmäinen ja viimeinen lauseke ovat nollia, koska niiden osoittajissa on tekijä (x - x2), mutta nimittäjät != 0. Toisen lausekkeen arvoksi tulee y2, koska murtolausekeen osoittaja on sama kuin nimittäjä, kun x = x2.
Tämän lausekkeen kehittäminen tavanomaiseen polynomimuotoon on työlästä, mutta niin on kolmen tuntemattoman yhtälöryhmän ratkaiseminenkin.
"Tämän lausekkeen kehittäminen tavanomaiseen polynomimuotoon on työlästä, mutta niin on kolmen tuntemattoman yhtälöryhmän ratkaiseminenkin."
Tässä tapauksessa tarvittiin vain yhtälöparin ratkaiseminen, koska suoraan nähtiin, että c = -4.
Tietokoneella tämä on helppoa. Esimerkiksi Sagella:
sage: a=var('a');b=var('b');c=var('c');model(x)=a*x^2 b*x c;data = [(-2,0),(0,-4),(4,0)];find_fit(data,model)
[a == 0.5, b == -1.0, c == -4.0]
Opiskelijan kannattaa kuitenkin ensin yrittää ymmärtää asiat ja vasta sitten käyttää näitä apuvälineitä. Tehtävien ratkaisu kynällä ja paperilla edesauttaa ymmärtämistä.