Suoritan MAA7 -kurssia eli derivaatasta siis on kysymys. Ei ole muistaakseni ollut tähän saakka matikan läksyjen kanssa mitään suurempia ongelmia, kunnes sitten nyt kotitehtäviä tehdessäni tuli tällainen tehtävä vastaan ja aloin jumittaa todella pahasti b) -kohdan kanssa:
Oletetaan, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa a.
a) Muodosta funktion g(x) = f(x)^2 erotusosamäärä kohdassa a
b) Ilmaise funktion g(x) derivaatta kohdassa a funktion f arvon f(a) ja derivaatan f'(a) avulla
c) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f(x) = x^2 4 derivaatta kohdassa 5. Mikä on funktion g(x) = (x^2 4)^2 derivaatta kohdassa 5?
Kohta a) sai siis omassa käsittelyssänikin helposti oikean vastauksen f(x)^2 - f(a)^2 / x -a, kuuluuhan tehtävä tässä kurssissa tähän mennessä käsitellyn teorian perusasioihin. Myös kohta c) hoitui vaivatta. Ongelmia sen sijaan ilmeni tuon keskimmäisen tehtävänannon kanssa. Kirjassa ilmoitetaan vastaukseksi g'(a) = 2 f(a) f'(a) mutta jostain syystä ei ole vieläkään sytyttänyt, mistä moinen johtopäätös, vaikka olen tehtävän kimpussa jo melkein pari tuntia viettänyt. Jaksaisiko joku asiasta tietävä siis hieman valaista, miten tuohon lopputulokseen päädytään? :)
Oletetaan, että funktio f(x) on derivoituva kohdassa a.
a) Muodosta funktion g(x) = f(x)^2 erotusosamäärä kohdassa a
b) Ilmaise funktion g(x) derivaatta kohdassa a funktion f arvon f(a) ja derivaatan f'(a) avulla
c) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f(x) = x^2 4 derivaatta kohdassa 5. Mikä on funktion g(x) = (x^2 4)^2 derivaatta kohdassa 5?
Kohta a) sai siis omassa käsittelyssänikin helposti oikean vastauksen f(x)^2 - f(a)^2 / x -a, kuuluuhan tehtävä tässä kurssissa tähän mennessä käsitellyn teorian perusasioihin. Myös kohta c) hoitui vaivatta. Ongelmia sen sijaan ilmeni tuon keskimmäisen tehtävänannon kanssa. Kirjassa ilmoitetaan vastaukseksi g'(a) = 2 f(a) f'(a) mutta jostain syystä ei ole vieläkään sytyttänyt, mistä moinen johtopäätös, vaikka olen tehtävän kimpussa jo melkein pari tuntia viettänyt. Jaksaisiko joku asiasta tietävä siis hieman valaista, miten tuohon lopputulokseen päädytään? :)
Vastaukset 13
Vanhimmat
Kyseessä on funktion f(x)^2 derivaatta, joka on 2f(x)f'(x). Nyt vaan x:n paikalle sijoitetaan a. Jos potenssien derivaatat ei ole tuttuja, niin tämän voi laskea myös tulon derivaatan kaavalla. Siis D(f(x)^2)=D(f(x)f(x))=f(x)f'(x) f'(x)f(x)=2f(x)f'(x).
Voit hajoittaa tuon f(x)^2 - f(a)^2 tekijöihin (f(x) f(a))*(f(x)-f(a)).
Samantapaisia asioita käsiteltiin jo ketjussa "erotusosamäärään liittyvä tehtävä" (lukionabi). Kts. vastaustani sieltä.
Ohman
Tuossa on Ohmanin mainitsema keskustelu:
http://keskustelu.suomi24.fi/t/13902870/erotusosamaaraan-liittyva-tehtava
Kiitoksia kovasti, nyt on tehtävä sitten ratkaistu. Oli loppujen lopuksi kyse ilmeisen simppelistä jutusta, joskus aivot eivät kuitenkaan kerta kaikkiaan vaan toimi. Sen sijaan mitä noihin tulon ja potenssin derivaatan kaavoihin tulee, niin enpä ollut tähän asti edes tietoinen niiden olemassaolosta. Mitä nyt selasin kirjaa, niin kurssin edetessähän noita elämää helpottavia kaavoja sitten putkahtelee melkeinpä tilannetta kuin tilannetta koskien.
Sinun tulisi mieltää että kun meillä on funktio f(x)^2 niin kyse on yhdistetystä funktiosta g(f(x) missä g(x) = x^2. Tällainen funktio derivoidaan ketjusäännön mukaan niin, että ensin lasketaan g'(x) ja tulokseen sijoitetaan x:n paikalle f(x). Tämä tulos on sitten vielä kerrottava f:n derivaatalla f'(x). Siis g'(x) = d/dx x^2 = 2x.
Sijoitetaan x -> f(x) ja saadaan 2 f(x). Tämä kerrotaan lausekkeella f'(x) eli lopputulos on 2 f(x) f'(x).
Tässä siis e i ole kyse "potenssin derivaatasta" vaan tuon yhdistetyn funktion derivaatasta.
Tämä yhdistetyn funktion derivointi on hyvä opetella sillä sen avulla moni "vaikea" derivointi onnistuu. Esim. käänteisfunktion derivaatta on tämän avulla helppo laskea. Otetaan esimerkiksi sin(x):n käänteisfunktio arcsin(x).
Koska sin(arc(sin(x)) = x on d/dx(sin(arcsin(x))) = 1. Tuon yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan on
d/dx (sin(arcsin(x))) = cos(arcsin(x)) * d/dx(arcsin(x)) = 1 joten
d/dx(arcsin(x)) = 1 / cos(arcsin(x) = 1/(sqrt(1 - sin^2(arcsin(x))) = 1/sqrt(1 - x^2).
Tai d/dx(log(x)). Koska määritelmän mukaan e^(log(x)) = x, on d/dx(e^(log(x)) = 1 ja yhdistetyn funktion derivointisäännön mukaan on d/dx(e^(log(x)) = e^log(x) * d/dx(log(x) = x d/dx (log(x) ja siis d/dx(log(x) = 1/x.
Mitä on d/dx(a^x) ? log(a^x) = x log(a). d/dx(log(a^x) = (1/(a^x)) * d/dx(a^x)
= d/dx(x log(a) )= log(a) ja siis d/dx(a^x) = a^x * log(a).Tässä siis käytin sekä yhdistetyn funktion derivointia että logamitrin määritelmästä johtuvaa kaavaa log(a^x) = x log(a). Logaritmit olivat niitä "luonnollisia" logaritmejä (ln)joissa kantaluku on Napierin luku e.
Nuo kun sisäistät niin osaat laskea paljon erilaisia derivaattoja.
Ohman
Neperin luku e
Kylä kyseessä on skottilainen matemaatikko John Napier (1550 - 1617).
Ohman
Napier on Napier, mutta hänen mukaansa nimetty luku e on Neperin luku
Täällä on kyllä merkillisiä humoristeja. Ihan asiallisten matemaattisten esitysten perään saattaa ilmestyä äkkiä tällaista Mistähän se kertoo? Jos tuo kirjoittajansa huumorintajua jotenkin tyydyttää niin sopii silti ounastella että kovin moni muu ei ole huvittunut.
Ohman
no onko se sitten Neperin luku vai Napierin luku?
Se on Neperin luku sinulle jos sanot myös "Oilerin vakio" (Eulerin vakio), "Ainstainin kaava" (Einsteinin kaava), "Njuuttonin lait" (Newtonin lait), "Koshiin kriteeri" (Cauchyn kriteeri) j.n.e.
Ohman
silti se on Neperin luku