Määritä kaikki kokonaislukuparit (a, b), a ≥ 1, b ≥ 1, jotka toteuttavat yhtälön:
a^(b^2) = b^a
a^(b^2) = b^a
Kahden muuttujan potenssiyhtälö
Päättelijä
1071
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Triviaalisti a=b=1 on yksi ratkaisu. Selvästikin 1) mikään muu a=b > 1 pari ei toteuta yhtälöä, ja 2) sellaista ratkaisua, jossa a tai b on 1, mutta a/=b ei ole. Näin ollen jää tutkittavaksi mahdolliset ratkaisut, joissa a ja b ovat >=2 ja eri kokonaislukuja. Intuitiivisesti näyttäisi, saatan olla väärässäkin, ettei sellaista kokonaislukuratkaisua ole, mutta tuo pitäisi vielä muodollisesti todistaa.
Menisiköhän siten, että kun a ja b, jotka ovat >= 2, jaetaan alkutekijöihin ja tarkastellaan kummankin lausekkeen pienintä alkutekijää, niin kummankin lausekkeen pienimmän alkutekijän potenssien pitää olla samat, josta saadaan a=b^2 ja edelleen b=b^2, eli b:n olisi oltava 1, joka on vastoin oletusta. Eli a=b=1 on ainoa ratkaisu.
Vedetään takaisin, jotain meni pieleen yllä.
Voin kertoa että muitakin ratkaisuja on, kuitenkin aika rajallinen määrä.
Kävin mahdolliset alatapaukset läpi. Ainoat ratkaisut ovat luullakseni: (1, 1), (16, 2) sekä (27, 3).
Oikeat parit; löytyykö vielä perusteluja sille että nuo ovat ainoat ratkaisut?
Löytyy. http://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/imo/isoln/isoln975.html
Joo, tehtävä on matematiikkaolympialaisista. Yksi harvoja olympiatehtäviä jonka ei-huippumatematiikko pystyy ratkaisemaan kohtuutyöllä. Olympiatehtävät ratkaisuineen löytyvät myös suomeksi netistä.
Käsittääkseni aika moni yliopistomatemaatikko osaa ratkoa tehtäviä. Riippuu siitä, mitä tarkoittaa kohtuutyö. Mutta yliopisto-opiskelijoille onkin sitten omat kilpailunsa.
Yliopistoon pääsee matematiikkaa opiskelemaan c:nkin pitkän matikan arvosanalla. Luulen että aika monelle l arvosanankin kirjoittaneelle nuo tuottavat suuria vaikeuksia. Vertaan vaikkapa kansallisiin lukion matematiikkakilpailuihin joiden tehtävät ovat naurettavan helppoja olympiatehtäviin verrattuna.