Levyn koko on 16cm*5cm, levystä taitellaan 5cm pituselle tulitikkurasialle kotelo siten, että toisen raapaisupinnan kohdalla on kolminkertainen levy.Mikä on suurin tilavuus?
Tuottaa vaikeuksia saada hahmotettua paperille tämä.
Onko tämä xy vai yx^2?
Tuottaa vaikeuksia saada hahmotettua paperille tämä.
Onko tämä xy vai yx^2?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Sanalliseen yhtälöön sanallinen vastaus. Raapaisupinta tulee tuossa neljään kertaan ja mitä 16 cm:s jää jäljelle menee kahteen sivuun. Kun kerran pituus on vakio, niin maksimoidaan päätypinta-ala, joka on sivun korkeus kerrottuna puolella siitä mitä jää. Jos alaa ajattelee sivun korkeuden funktiona niin hetihän näkee, että se on nolla jos korkeus on nolla tai neljä. Kun funktio kerran on alaspäin aukeava parabeli, niin maksimi on nollakohtien puolivälissä ja puolet siitä mitä jäi on neljä. Silloin vastaukseksi tulee vähempi kuin mopon iskutilavuus, mut kuitenkin 40 kuutioo.
Kaipa se "tulitikkurasia" voi sitten olla korkeudeltaan ja leveydeltään mitä hyvänsä? Eli leveys on y ja korkeus x, tilavuus on 5xy.Loppuuko se taitettava levy kun kolmannen kerran peitetään se toinen raapaisupinta?No kai se loppuu koska muuten tilavuus on pienempi kuin suurin mahdollinen.
Taittelun tuloksena 5x 4y = 16
On laskettaa funktion f(x,y) = 5xy maksimiarvo ehdolla 5x 4y -16 = 0.
Lagrangen kertojalla : tutkitaan funktiota
5xy - c * (5x 4y -16). df/dx = 5y - 5c = 0 josta y = c
df/dy = 5x -4c = 0 josta x= 4/5 c. Kun nämä sijoitetaan ehtoon saadaan 4c 4c -16=0
ja siis
c= 2, x = 8/5, y = 2 ja tilavuus 5xy = 16.
Todista nyt vielä, että tämä on maksimi!
Ohman
Mielestäni näin on huomattavasti helpompi eli jos kerran tilavuus f(x,y) = 5xy ja ehtona on 5x 4y=16, niin silloin y = (16-5x)/4 = 4-5x/4. Sijoitetaan tämä tilavuuden f(x,y) lausekkeeseen --> f(x) = 5xy = 20x - 25x^2/4. Tämän derivaatta on f'(x) = 20 - 25x/2, joka merkitään nollaksi ja ratkaistaan x --> x = 8/5.
Toinen derivaatta f"(x) = -25/2 < 0, joten antaa maksimin. Jne...
Siinä mitään Lagrangeja tarvita.
>Taittelun tuloksena 5x 4y = 16
Voisikohan pohjan ja katon tehdä ohuemmaksi? Vain yhden sivun tarvitsee olla kolminkertainen, muut seinämät menevät yhdellä kerroksella.
Aikuisten oikeasti juttu menee näin:
Taitellaan toisen raapaisupinnan päälle kolminkertainen levy ja loput rasian ympärille.
Yhtälö on:
4y 2x = 16.
x = 8 - 2y.
A = xy = 8y - 2y^2.
dA/dy = 8 - 4y.
dA/dy = 0 <=> y = 2.
y = 2 => x = 4.
A = 8.
V = 40.
Niinkuin tuolla aikaisemmin todettiin.
Onnittelut varoittava.esimerkki:lle oikeasta ratkaisusta. Alussa esittämäni sanallinen päässälasku on samalla tavalla laskettu, kun y=sivun korkeus ja x =puolet siitä mitä jäi, paitsi että ratkaisin maksimikohdan ilman derivointia enkä kirjoittanut kaikkia välituloksia näkyviin.