Jäi vähän pahasti aukkoja tietoihin, kun en sairastelun takia päässyt luennoille. Tällaista pähkäilen vanhan tenttikysymyksen kanssa.
Satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfunktio on
f(x, y) = x y, kun 0< x < 1, 0 < y < 1, = 0 muutoin.
a) Osoita , että x ja y ovat stokastisesti riippuvia
b) Laske x:n ja y:n välinen korrelaatio
Vinkkikin riittää, että pääsen jyvälle, kiitos!
Satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfunktio on
f(x, y) = x y, kun 0< x < 1, 0 < y < 1, = 0 muutoin.
a) Osoita , että x ja y ovat stokastisesti riippuvia
b) Laske x:n ja y:n välinen korrelaatio
Vinkkikin riittää, että pääsen jyvälle, kiitos!
Vastaukset 4
Vanhimmat
a) Luulen, että tenttivastaukseen riittää muistisäänön soveltaminen: ovat riippuvia, jos marginaalijakaumien tulo poikkeaa yhteisjakaumasta.
x:n m.j (int 0:sta1:een): f(x) = ∫(x y)dy = x 1/2; symmetrisyyden johdosta f(y) = y 1/2.
Laskepa, täsmääkö tulo yhteisjakaumaan.
b) Tarvitaan varianssit ja kovarianssi (integroinnit (0:sta 1:een):
Odotusarvot E(x) = ∫∫x(x y)dxdy = 7/12 = E(y)
E(x²) = ∫∫x²(x y)dxdy = 11/144 = E(y²)
Varianssit V(x) = 7/12 - 11/44 = 11/144 = V(y)
Cov(x,y) = ∫∫xy(x y)dxdy - E(x)E(y) = -1/144
Korrelaatio ρ = (-1/144)/SQRT[(11/144)²] = -1/11.
Vähän odottamattoman näköinen tulos, toivottavasti ei tullut laskuvirheitä (logiikka on kuitenkin tuo).
Var(X) = E(X^2) - E^2(X) = 5/12 - 49/144 = 11/144
Cov(X,Y)= E(XY) - E(X) E(Y) = 1/3 - 49/144 = -1/144
Mistähän tuo 7/12 - 11/44 = 11/144 ?
Hups, piti olla V(x) = ∫∫x²(x y)dxdy - (7/12)² = 11/144 = V(y). Mitähän riviä lienen paperista katsonut ja miten päin(?); tulos ainakin on oikein, samoin korrelaatio.
Susanna.S:
Nuo merkintäsi ovat vähän huonot (vaikkakin niitä monasti näkyy käytettävän). Satunnaismuuttujat eivät ole x ja y vaan x ja y ovat satunnaismuuttujien X ja Y arvoja. Näitä satunnaismuuttujia voitaisiin yhtä hyvin merkitä vaikka A ja B.
X ja Y ovat kuvauksia jostain todennäköisyysavarudesta reaaliluville
Näiden satunnaismuttujien X jaY yhteisjakauman kertymäfunktio on F(x,y) = P(X <= x ja Y <= y). (Jotkut kirjat käyttävät tässä pienemmyysmerkkiä <, en nyt rupea setvimään sitä asiaa.) X:n ja Y:n yhteisjakaumalla voi olla myös tiheysfunktio f(x,y).Nämä funktiot on siis märitelty x,y-tasossa, ei alkuperäsesä tnavarudessa missä satunnaisuuttujat X jaY on määritelty.
Tässä tehtävässä f(x,y) = x y kun 0 < x < 1 ja 0 < y < 1.
Ohman