Osoita että (n!)^2 > n^n kun n>2 (n kokonaisluku).
Kertoma vs potenssi
KumpiVoittaa
19180
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 19
Vanhimmat
Hmm. Ainakin Stirlingin kaavalla pätee (n!)^2>=(2*pii*n^(n 1/2)e^(-n))^2=4 pii^2 n^(2n 1)e^(-2n) https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling's_approximation .
Eikö tämä mene induktiolla: https://in.answers.yahoo.com/question/index?qid=20101228053634AAoodWA
Eivät nuo ulkomaiset nettivastaukset ole aina niin laadukkaita. Otetaan vaikkapa tuo ensimmäinen (palkittu best answer). Siinä on seuraavaa:
(n 1)^(n 1) = n^n * n * (n 1) < n!^2 * n * (n 1) < n!^2 * (n 1) * (n 1) = (n 1)!^2
Mutta (n 1)^(n 1) = (n 1)^n*(n 1), en ainakaan minä saa tuota mitä yhtälössä on. Jos sijoitetaan vaikkapa n=3, saadaan 256=324, eli relaatio < pitäisi ilmeisesti paikkansa mutta mitenkään selvää se ei ole.
Laskin tätä väsyneenä, toivottavasti meni oikein.
Tässä tuloa (n!)^2 pitää ajatella, että suuri kerrotaan pienellä. Siis (n!)^2=(1*n)*(2*(n-1))*...*(n*1). Osoitetaan sitten, että jokaiselle tulon termille arvio k(n 1-k)>=n kun 1<=k<=n. No, tämä seuraa siitä, että k(n 1-k)-n=-k^2-k(n 1)-n ja kun tätä ajatellaan toisen asteen funktiona k:n suhteen, on sen diskriminantti ((-1)(n 1))^2-4(-1)(-n)=(n-1)^2. Polynomilla on siis vain yksi juuri n=k. Muutoin on voimassa k(n 1-k)>n. Kun k juoksee luvut 1:stä n:ään ja kerrotaan epäyhtälöt puolittain, saadaan kysytty epäyhtälö.
Tarkoitatko, että on juuret 1 ja n? Tuo on tosi hyvä ratkaisu, mutta laitan vielä omani:
Osoitetaan induktiovaiheessa tarvittava epäyhtälö n^n > (n 1)^(n-1).
Otetaan puolittain logaritmi ja osoitetaan se yhtälö (eksponenttifunktio kasvava, joten tämä osoittaa väitteen). Siis väite on
log(n^n) > log((n 1)^(n-1))
eli
-----------------------------------------
n*log(n) > (n-1)*log(n 1)
------------------------------------------
Lähdetään laskemaan erotusta:
n*log(n) - (n-1)*log(n 1)
= log(n 1) - n[ log(n 1) - log(n) ]
= integraali_1^{n 1} { dx/x } - n*integraali_n^{n 1} { dx/x }
Koska 1/x on pienempi välillä [n, n 1] kuin millään aikaisemmalla välillä [k, k 1], voidaan arvioida tuota vähennettävää osaa:
n*integraali_n^{n 1} { dx/x }
<= summa_{k=1}^n { integraali_k^{k 1} { dx/x } }
= integraali_1^{n 1} { dx/x }
ja näin saadaan väite (aito epäyhtälö saadaan myös tuohon, sillä funktio 1/x on aidosti pienempää koko välillä joten helposti tulee aito ey).
Tässä olisi vielä tuo erotuksen arviointi ehkä vähän luettavammassa muodossa:
http://oi64.tinypic.com/2uetnns.jpg
"Tarkoitatko, että on juuret 1 ja n?"
Joo, tätä tarkoitin.
(2!)^2=2*2
(3!)^2=3*4*3
(4!)^2=4*6*6*4
(5!)^2=5*8*9*8*5
yleinen jäsen: ((m*n)-m(m-1)), jossa m=1,2,3,…,n
Niin kuin nähdään, jotta (n!)^2 olisi suurempi kuin n^n, niin jonkun tulon jäsenen on oltava suurempi kuin n, eli ((m*n)-m(m-1)) > n => n(m-1) > m(m-1)
m=1 ei käy, koska 0 > 0 ei toteudu, mutta
m=2 => n > m, eli n=3
Ajatus tässä oli, että (n!)^2 saa esitettyä tulona, jossa on n tekijää, jotka kaikki ovat suurempia tai yhtäsuuria kuin n. Ja jos n >2, niin joukossa on ainakin yksi suurempi tekijä kuin n.
Tuotahan voi jatkaa kynällä ja paperilla vaikka miten pitkälle , siis laskematta oikeastaan mitään, kunhan vaan kirjoitellee lukuja pystysuoraan.
Laitan tämän nyt tännekin yleisön pyynnöistä huolimatta, kun sen omiin kokoelmiinikin tein: http://aijaa.com/O2o3Bf
Tuosta ihankivatreenitehtävän lausekkeesta k(n 1-k)-n saa ryhmittelemällä (n-k)*(k-1) jonka nähdään suoraan olevan > 0 ja 0 kun k=1 tai k=n.
(3!)^2 = 36 > 3^3 = 27. Lause siis pätee kun n=3.
Tehdään nyt induktio-oletus: (n!)^2 > n^n. Silloin ((n 1)!)^2 = (n 1)! * (n 1)! = (n!)^2 * (n 1)^2 > n^n * (n 1)^2.Tässä käytettiin nyt induktio-oletusta.
Nyt pitäisi olla n^n > (n 1)^(n-1) eli n^(n/(n-1)) > n 1 eli n^(1/(1 - 1/n)) > n 1. Mutta kun n kasvaa rajatta niin 1/n -> 0 , (1 - 1/n) -> 1 ja n^(1/(1-1/n)) -> n < n 1.
Ainakaan tällaisella induktiotodistuksella lausetta ei saa todistettua!
Ohman
Johan minä todistin tuon väitteen n^n > (n 1)^(n-1), katso ylempää.
Sinun päättelyssäsi tuon mahdottomuudeksi menee se vikaan, että myös potenssiin korotettava eli n kasvaa, joten n^(1/(1-1/n)) ei mene n:ään. Piirrä vaikka kuvaajaa jatkuvalle muuttujalle, niin huomaat.
Joo, en lukenut niin tarkkaan edeltäviä juttuja.Itse asiassa kyllä vain mainitsit, että induktiovaiheessa tarvitaan tuo epäyhtälö,mutta en nyt rupea "hiuksia halkomaan".
Mijhinkäs tuo lauseke muuten menee kun n kasvaa rajatta?Onko se > n 1 ? Juuri nyt ei ole aikaa miettiä.
Ohman
Ai miten niin vain mainitsin että tuota tarvitaan? Todistinhan minä sen.
Kun ei ole aikaa, käytetään Wolfram Alphaa, :-)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^(1/(1-1/x)) - (x 1), x\to \infty
Eli äärettömään menee vaikka vähentäisi tuon n 1:n siitä.
No halotaan nyt sitten hiuksia kun kerran välttämättä haluat. Sinä todistelit kyllä tuota epäyhtälöä n^n > (n 1)^(n-1) mutta et osoittanut, miksi se pitää todistaa. Sanoit vain, että "induktiovaiheessa tarvittava epäyhtälö". Minun kirjoituksestani näkyy, mistä se tulee.On tietenkin ihan triviaali juttu mistä se tulee mutta kun hiuksia ruvettiin halkomaan...
Onkohan tällainen keskustelu nyt tarpeellista ja hedelmällistä?
Ohman
Ai, joo niin mä vähän aattelinkii. Niin, mä en jaksanut sitä induktiota alusta asti tehdä, kun kaikki varmaan pääsee tuohon kohtaan asti, missä tuolla ey:llä pääsee maaliin.
Joo ei oo kovin hedelmällistä :-). En mä ois muuten vastannutkaan, jos en ois myös laittanut tuota linkkiä vastauksena tuohon "n^(1/(1-1/n)) - (n 1)":n käyttäytymiseen kun n->\infty. (Katkesi vaan tuo linkki jostain syystä.)
Loppu. :D
No kyllä sen tästä kuitenkin pystyy todistamaan (kuten nokikana234 jo huomauttikin).
Piti osoittaa, että n^n > (n 1)^(n-1) eli että n^n (n 1) > (n 1)^n eli että n 1 > (1 1/n)^n. Tämä epäyhtälö pätee kun n = 2. Funktio (1 1/x)^x on kasvava funktio ja itse asiassa lim (n ->ääretön) (1 1/n)^n = e. Epäyhtälö siis pätee kaikilla arvoilla n>2 ja alkuperäinen siis pätee kun n>3.
Ohman
Piti olla :kun n >= 3 eli kun n > 2.
Ohman