Moi!
Miten muodostetaan "pursuit curve"? Jos esimerkiksi kettu lähtee pisteestä (0,L) kohti oravaa, tästä ketun liikkeestä voi muodostaa yhtälön. Netistä löytyy huonosti selitettynä ja vain englanniksi..
Orava lähtee siis origost ja kulkee x akselia pitkin. Molemilla sama nopeus.
Miten muodostetaan "pursuit curve"? Jos esimerkiksi kettu lähtee pisteestä (0,L) kohti oravaa, tästä ketun liikkeestä voi muodostaa yhtälön. Netistä löytyy huonosti selitettynä ja vain englanniksi..
Orava lähtee siis origost ja kulkee x akselia pitkin. Molemilla sama nopeus.
Vastaukset 26
Vanhimmat
Onko molemmilla siis sama nopeus? Mielenkiintoisa tehtävä
Joo, tai sitten eri. Kummin päin tahansa. Tässä olisi tarkoitus muodostaa differentiaaliyhtälö, mutta aika hankala päästä alkuun.
Lopuksi tietenkin voisi analysoida aikaa joka kuluu jahtiin tai että saavuttaako se sitä oravaa koskaan.
Mikäli "muodostetaan" viittaa ketun reittikäyrän yhtälöön tai parametriesitykseen, luulisin sen ehkä helpoiten saatavan oravan liikkeen suhteen muodostettavan differentiaaliyhtälön ratkaisusta.
Jos viittaat käyrän piirtämiseen, yksinkertainen numeerinen menetelmä toimii kun laskee sopivan pienin askelin.
Tarkoitin tässä juuri tuota liikettä kuvaavaa differentiaaliyhtälöä, jonka ratkaisu olisi sitten sen hyperbelikuvaajan yhtälö.
Vektoreilla sen ilmeisesti voisi myös yrittää tehdä, mutta muuttuva suunta on jotenkin tosi vaikea huomioida tässä differentiaaliyhtälö. muodostamisessa..
Ettei vaan olisi taas tämä sama tehtävä. Tästä ei tule päänsärkyä...http://keskustelu.suomi24.fi/t/10648516/valilla-oikea-tehtava#comment-0
Eiks toi oo kuiteski aika erilainen?
Tommosta minä yrittäisin, eli alemmasta (vt-x) ylempään jne...
(vt-x)^2 y^2=v^2
y/(vt-x)=-dy/dx
Toi ylempi yhtälö pitää olla tietysti aikaderivaattayhtälö, täytyy kotona yrittää....
Ei tästä mitään tule, se ei onnistu tolla samalla nopeudella, nopeuksien suhde pitää ainakin olla ketun puolella. Voi siinä olla muutakin...
Siinä täytyy ottaa muuttujaksi ilmeisesti nopeuksien suhde ja sitten kun saadaan diferentiaaliyhtälöstä tangenttiparvi, niin on haettava sille tangenttiparvelle verhokäyrä.
Taidan laittaa kotona verhot kiinni ja ruveta ehtoolla sitä hakemaan..
Itse sain kans ton dy/dx = -y/(v_o*t-x) muodostettua tangentille, muttei se taida riittää? Minulla on T tiedossa, eli kauan siihen menee, että orava saadaa kiinni. Miten etenen tästä? Ja ilmeisesti näillä on eri nopeudet, mutta niitä ei tarvitsekaa ratkaista... Tärkein on se hyperbeli
Minulla on ollut koko päivän tässä lapsellinen derivointivirhe, joten olen ollut aika lailla yössä.
Ei tätä oikein voi muuten ratkaista kuin tuolla Missilen tavalla, ja tuolla linkissähän on sitten jopa sitten ratkaistu se differentiaaliyhtälökin. Se tosin on sitten eri koordinaattiakseleissa kuin sinun tehtäväsi...
Olkoon orava hetkellä t pisteessä A = (t, 0), eli oletetaan oravan vauhdiksi 1.
Tällöin, jos kettu on pisteessä B = (x(t), y(t)), niin ketun nopeusvektori on A-B:n suuntaan ja ykkösen pituinen (sama vauhti ketulla ja oravalla), siten saadaan yhtälö
(x'(t), y'(t)) = (t-x(t), -y(t)) / ( (x(t)^2-t)^2 y(t)^2)^(1/2)
Miksi tossa on x ja y:n derivaattojen välillä pilkku? Ja miksi esität x ja y nopeuden t:n funktiona kun nopeus on kuitenki vakio?
(x,y) on ketun paikka koordinaatistossa. Se riippuu ajasta t. Nopeus ei ole vakio, sen suunta muuttuu. Vauhti eli nopeusvektorin pituus on vakio.
Nopeusvektori saadaan derivoimalla molemmat komponentit erikseen. Kumpikin on t:n funktio.
Joo sori nopeus ei oo tietenkää vakio... Ja en ollut huomannu tota toista pilkkua.
Olenko tehnyt väärin jos olen lähtenyt liikkeelle nopeusvektorin tangentista? dy/dx=-y/(v_o*t-x) missä v_o on orava. T:n tilalle sijoittaisin vaan ajan, joka ketulla kestää saavuttaa jänö?
Eikö siinä olisi jo tarpeeksi tietoja ja jäljelle jäisi vain diffierentiaaliyhtälön ratkaiseminen?
*oravaahan tässä jahdetaan ja v_o on siis oravan nopeus
Kun osallistuin tuon tehtävän ratkaisemiseen aiemmassa keskustelussa, johon on yllä linkki; parempi asettaa tehtävä niin että kohde (orava) etenee pystysuoraan ja jahtaaja (kettu) aluksi vaakasuoraan, silloin saadaan ratkaisu suljetussa muodossa. Aiemmassa tehtävässä nopeuksien itseisarvot eivät olleet samat mutta sillä ei kai ole ratkaisun kannalta merkitystä.
Lähdetään laskemaan niin että kettu on aluksi origossa ja orava pisteessä x=L lähtemässä etenemään y-akselin suuntaisesti. Molemmat lähtevät etenemään nopeudella v (itseisarvo). Ketun nopeus x-y-koordinaatistossa on:
v^2 = (dx/dt)^2 (dy/dt)^2, mistä muokkaamalla:
u*dt = sqrt(1 (dy/dx)^2)*dx
Ketun "kulmakerroin" on kohti oravaa:
dy/dx = (vt-y)/(L-x), mistä saadaan:
t = ((dy/dx)*(L-x) y)/v, ja derivoimalla:
dt/dx = y''*(L-x)/v
Yhdistämällä yhtälöt saadaan:
y'' = sqrt(1 y'^2)/(L-x)
Tuolle löytyy kai ratkaisu Wolfram Alphalla.
Se on hyvä, että laitoit tämän. Löysin nimittäin lapsellisen derivointivirheen, joka on minulla ollut koko päivän tuossa dt/dx lausekkeessa...(Ikinä en tätä tehtävää enää räävi)
Laitetaas tämä nyt kuitenkin tänne talteen, siinä tuo 100=L
http://www.wolframalpha.com/input/?i= x=½(-100lny y^2/(2*100)-100/2 100ln100) , y=1
Mä sain omien yhtälöitteni ratkaisuksi alkuehdot huomioon ottaen:
y'(x) = (1/2)(L/(L-x)-(L-x)/L)
y(x) = (1/2)(x^2/2*L-x-L*ln((L-x)/L))
Taitaa puuttua sulkumerkit tuosta y:n lausekkeesta, p.o. x^2/(2*L).
Ohman
Joo
Laitoin tuon aikanaan talteen siksi, että ajattelin joskus verrata sitä tuohon Missiilin laskemaan, ja nyt sitten vertasin: http://aijaa.com/mVtb8C
Tuli sellainen aika yllttäväkin tulos, että käyrä on ilmeisesti oikein.
Voin laittaa sen laskutavankin tähän jos se jotain kiinnostaa, ensin se tosin pitäis jostain mappi-ööstä löytää...
Löytykin helposti ja laitan sen nyt sitten saman tien, koska lähden paarikierrokselle ja siinä menee loppupäivä ja huominenkin...
http://aijaa.com/4LIeCF
(Se on kyllä mahdollisimman epävirallinen lasku, mutta tulee siitä ainakin oikeannäköinen käyrä..)