Johtaja Örisevä saapuu taksilla pisteeseen, joka kohtisuoraan etelään 10 metrin päässä kotiovesta. Hän lähtee liikkeelle ja ottaa kaksi puolen metrin askelta minuutissa satunnaisesti etelään, itään tai länteen, tai pohjoiseen sattuessaan neljä askelta kahdessa minuutissa tähän suuntaan. Kauanko kestää todennäköisimmin päästä kotiovelle?
Pikkujoulutehtävä - onko ratkaisua?
Aimo_Sonni
651
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Aika huonosti määritelty tehtävä. Mitä tarkoittaa todennäköisimmin: todennäköisyysjakauman huippua, >50 % todennäköisyyttä vai jotain muuta? Mitä jos on metrin päässä kotiovesta ja sitten ottaa neljä askelta eteen, menee oven läpi? Kannattaisi ensin harjoitella yksidimensioisella eli askelia vain eteen- tai taaksepäin.
Yritetään määritellä tehtävä hieman tarkemmin. Kulkijamme siis periaatteessa kulkee neliöiden muodostamassa ruudukossa (vrt. ruutupaperi) kulmapisteestä toiseen ruudukon viivoja pitkin. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että kotitalon seinä on äärettömän pitkä ruudukon viiva itä-lansi-suunnassa. Seinästä etelään alue ulottuu äärettömyyteen.
Alkutilanteessa ollaan a askelta etelään kotiovesta. Kulkija siirtyy yhdellä askeleella neljään pääsuuntaan kuhunkin todennäköisyydellä 1/4. Jos hän törmää talon seinään, niin hän jatkaa todennäköisyyksillä 1/3 itään, länteen tai etelään. Toinen mahdollisuus olisi, että hän seinään törmätessään pomppaa yhden askeleen takaisin etelään.
Vaellus loppuu, jos kulkija kohtaa kotioven.
Kysymyksiä. Millä todennäköisyydellä kulkija löytää kotiin joskus? Tämä on ilmeisesti suurempi kuin (1/4)^a. Tarvittavien askelten jakaantuma, keskiarvo jne.
Kyseessä on siis tyypillinen 2-ulotteinen random walk-ongelma, jota on kyllä paljon tutkittu. Varsinaiset todennäköisyysteoreetikot voinevat sanoa tästä ongelmasta enemmän.
Todennäköisyys että löytää joskus kotiin on käsittääkseni 1 jos mitään rajoituksia ei ole, edes maailmankaikkeuden ikä.
Kyllä tuohon ratkaisu on, koska juhlija etenee enemmän oikeaan suuntaan kuin muihin. Seinä pitäisi kyllä olettaa ääretömän leveäksi ja ovi metrin levyiseksi. Mahdollisten ja suotuisten reittien laskemiseen voisi joku harrastaja varmaan konstruoida algoritmin; käsin laskeminen on toivotonta, ellei jostain löydy yksinkertaista johdettua kaavaa. Seinään törmätessä on tie tietenkin tukossa ja seuraavat kaksi askelta mahdollisia vain kolmeen suuntaan.
Ei minun mielestäni etene enemmän oikeaan suuntaan. Joka askelvalinnalla on tn 1/4 edetä oikeaan (siis seinän) suuntaan 2 m ja tn 3/4 edetä muihin suuntiin yhteensä 3 m.
Wikipedia kertoo seuraavaa satunnaiskulusta: "Will the drunkard ever get back to his home from the bar? This is the 2-dimensional equivalent of the level crossing problem discussed above. It turns out that he almost surely will in a 2-dimensional random walk, but for 3 dimensions or higher, the probability of returning to the origin decreases as the number of dimensions increases. In 3 dimensions, the probability decreases to roughly 34%."
Eli 2-ulotteiseea satunnaiskulussa perille pääsy ennemmin tai myöhemmin on teoriassa lähes varmaa mutta ei suuremmissa dimensioissa.