Johda sellaisen kappaleen tilavuus särmien funktiona, jota rajoittavat kahdeksan
tasakylkistä kolmiota ja yksi säännöllinen 8 kulmio. Miksi sellaista kappaletta sanotaan?
tasakylkistä kolmiota ja yksi säännöllinen 8 kulmio. Miksi sellaista kappaletta sanotaan?
Vastaukset 1
Vanhimmat
Kyseessä on kahdeksansivuinen pyramidi.
Vihjeitä:
Olkoon kahdeksankulmion sivun pituus a ja sivusärmän pituus b. Määrätään ensin kahdeksankulmion ympäripiirretyn ympyrän säde R. Cosinilauseen mukaan'
a^2 = 2*R^2 - 2R^2*cos(Pii/4) = R^2 * (2 - sqrt(2)).
Ratkaistaan tästä R. Ilmeisesti pitää olla voimassa b > R.
Sitten määrätään kahdeksankulmion sisään piirretyn ympyrän säde r. Pythagoraan mukaan
r = sqrt(R^2 - (a/2)^2).
Silloin kahdeksakulmion ala on 8 * a * r/2.
Vielä on määrättävä pyramidin korkeus. Se on sellaisen tasakylkisen kolmion korkeus, jonka kanta on 2R ja yhtä pitkien sivujen pituudet ovat b. Nyt voidaan laskea pyramidin tilavuus (pohjan ala * korkeus / 3).