Pakassa on 110 korttia, joista kutakin 10,J,Q,K ja A on kymmenen kappaletta. Millä todennäköisyydellä nostaessasi viisi satunnaista korttia, saat vähintään yhden 10-,J-,Q-,K- tai A-parin?
kombinatoriikkaharjoitus
Ajankuluttajaa
769
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Tuossa on helppo laskea komplementtitapaus, eli ei yhtään paria. Ekan kortin voi nostaa tn:llä 110/110, tokan 100/109, kolmannen 95/108, neljännen 90/107 ja viidennen 85/106. Näiden tulo on 1009375/1854417, josta 1-1009375/1854417=845042/1854417 noin 0,46.
"tokan 100/109"
Näin vain, jos ensimmäinen kortti oli 10 tai isompi, jota se on vain tn:llä 50/110.
Lasketaan 10-parin tn komplementin avulla:
Tn, että 1. kortti on 10, on 10/110 = 0,090909
tn, että mikään 4:stä seuraavasta ei ole, on (110*99*98*97)/(109*108*107*106) = 0,704844
Tälle viiden sarjalle tn on 0,064077
Tn sarjalle, jossa on tasan yksi 10, on viisinkertainen, eli 0,320384
Tn sarjalle ilman 10:ä on 0,615137
Tn sarjalle jossa on korkeintaan yksi 10, on noiden summa, eli 0,93552
10-parin tn on 0,06448
Sama koskee J, Q, K ja A-pareja, eli kysytty tn on 5* 0,06448 = 0,322398.
En ihan ymmärtänyt laskelmaasi. Eikös 10-parin todennäköisyydessä komplementin avulla pitäisi laskea monellako tapaa tulee korkeintaan yksi kymppi ja monellako tavalla kymppejä on vähintään kolme, koska ainakaan pokerissa kolme samaa ei lasketa pariksi? Ja miksi laskelma kerrotaan viidellä, kun neljä samaa ei ole sama kuin kaksi paria ja viiden kortin joukossa voi olla jo ennestään kaksi paria?
Luulisin, että tässä pitää laskea ensiksi montako 2-5 saman symbolin kättä on olemassa (esim A,A,10,Q,K on kahden saman symbolin kortti). Näitä on summa(n=1)^5 (5 yli 1)(10 yli n)(110-50 yli 5-n)=8825760. Lasketaan sitten montako 2+2 saman symbolin kättä on olemassa (esim. A,A,10,10,K). Saadaan (5 yli 2)(10 yli 2)(10 yli 2)(110-50 yli 5-4)=1215000. Sitten 2+3 saman symbolin käsiä on (5 yli 2)((10 yli 2)(10 yli 3)+(10 yli 2)(10 yli 3))*(110-50 yli 5-5)=108000. Näiden summa jaetaan kaikkien käsien määrällä (110 yli 5)=122391522. Saadaan (8825760+1215000+108000)/122391522=563820/6799529 eli noin 8,3 %.
Luulisin että tuossa tehtävässä myös kaksi pari, kolmoset jne luetaan pareiksi sillä ne sisältävät myös parin.
Mutta muuten jäin pohtimaan onko nikki Laskee laskelma oikein vai onko todennäköisyyksissä päällekkäisyyksiä. Tein tarkistuslaskelman seuraavasti. Oletan että pakka sisältää 11 eri numeron omaavaa korttia, 10 kpl kutakin. Silloin nikki Laskee laskeman mukaisesti todennäköisyys että tulee ainakin yksi pari on 11*0.0645=0,71. Toisaalta voidaan laskea että tuo todennäköisyys on 1- 1*(100/109)*(90*108)*(80/107)*(70/106)=0,62.
Otsikossa mainittiin kombinatoriikka. Kaikkien viiden kortin kombinaatioiden lkm on C(110,5). Niiden lkm jossa on pari tiettyä numeroa on C(10,2)*C(100,3). Kolmoset, neloset ja viitoset vastaavasti. Lasketaan yhteen ja kerrotaan viidellä. Mutta nyt on laskettu kahteen kertaan ne tapaukset jossa on kaksi paria ja täyskäsi noista viidestä numerosta. Eli ne pitäisi vähentää. Aika suuritöistä joten en lähde laskemaan läpi.
Juu ei ollut kysymys pokerista. Eli jos viiden kortin joukosta löytyy kaksi samaa korttia, se on pari. Jos siinä on vaikkapa neljä samaa, löytyy näistä kuusi eri paria. Kysymyksessä sanottiin "vähintään yksi pari".
Olisi ollut selvempää muotoilla että " saat vähintään kaksi samanarvoista 10-,J-,Q-,K- tai A-korttia", jolloin tuo pokerisekaannus olisi vältetty.
Nimimerkille "enolesamaamieltä ": laskelma kerrotaan siksi viidellä, että laskelmassa vain 1. kortti oli 10, mutta sama todennäköisyys on, että se on jossain viidestä eri positiosta.