Kysymys: Minkä käyrän muodostavat ne tason pisteet, jotka ovat suorien, jotka kulkevat pisteiden (1,0) ja (-1, 0) kautta ja jotka ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, leikkauspisteet?
Sinälläänhän on ihan selvää, että vastaus on yksikköympyrä, x^2 y^2=1.
Kuitenkin ongelmaa ilmenee kun aloin tätä johtamaan. Lyhyesti sanottuna kirjoitin suorille yhtälöt (joihin luonnollisesti tuli mukaan kulmakertoimet), merkitsin suorien kulmakertoimien tuloksi -1 kohtisuoruuden perusteella ja ilmoitin toisen suoran kulmakertoimen toisen avulla. Nythän näiden suorien leikkauspisteet saa suorien yhtälöiden muodostamasta lineaarisesta yhtälöparista. Kuitenkin sinne jää tuo kulmakerroin kummittelemaan, joten kuinka nyt tuosta yleisestä ympyrän pisteestä saaadaan se ympyrän yhtälö?
Kiitän vastauksista
Sinälläänhän on ihan selvää, että vastaus on yksikköympyrä, x^2 y^2=1.
Kuitenkin ongelmaa ilmenee kun aloin tätä johtamaan. Lyhyesti sanottuna kirjoitin suorille yhtälöt (joihin luonnollisesti tuli mukaan kulmakertoimet), merkitsin suorien kulmakertoimien tuloksi -1 kohtisuoruuden perusteella ja ilmoitin toisen suoran kulmakertoimen toisen avulla. Nythän näiden suorien leikkauspisteet saa suorien yhtälöiden muodostamasta lineaarisesta yhtälöparista. Kuitenkin sinne jää tuo kulmakerroin kummittelemaan, joten kuinka nyt tuosta yleisestä ympyrän pisteestä saaadaan se ympyrän yhtälö?
Kiitän vastauksista
Vastaukset 4
Vanhimmat
Ihan hapuilua tässä, ajatus ei kulje tähän aikaan yöstä. Sinulla on siis parametriesitys parametriesitys x=g(k) ja y= p(k). Jotta saat esityksen funktiomuotoon y=f(x), on tarkasteltava ympyrän ylä- ja alapuolta erikseen. Helpoin on, jos saat eliminoiduksi kulmakertoimen k. Eli siis laskemalla käänteisfunktio k=F(y) ja sijjoittamalla se x:n lausekkeeseen.
Toinen tapa ehkä on laskea dy/dx lähtien käyrän parametriesityksestä x=g(k) ja y= p(k), jolloin tuloksena on ympyräpuoliskon derivaatta.
Pisteestä x, y lähtevien, ja noihin kahteen tunnettuun pisteeseen päättyvien vektoreiden pistetulo on oltava nolla.
y=k*(x-1)
y=(-1/k)*(x 1)
Kerrotaan puolittain:
y^2=1-x^2
Kiitoksia, tästähän se tuleekin