Jostain syystä saan väärän vastauksen.
15% epäonnistuu englannin kokeessa, 20% epäonnistuu historian kokeessa. 6% opiskelijoista epäonnistuu molemmissa kokeissa. Millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu opiskelija onnistuu kummassakin kokeessa?
Oikea vastaus on 0,71.
Mutta en ymmärrä miten siihen päästään.
15% epäonnistuu englannin kokeessa, 20% epäonnistuu historian kokeessa. 6% opiskelijoista epäonnistuu molemmissa kokeissa. Millä todennäköisyydellä umpimähkään valittu opiskelija onnistuu kummassakin kokeessa?
Oikea vastaus on 0,71.
Mutta en ymmärrä miten siihen päästään.
Vastaukset 11
Vanhimmat
6 % munii molemmat
9 % munii vain englannin
14 % munii vain historian
----->
71 % ei muni
Joo.
Oletetaan 100 oppilasta. Heistä 15 munii englannin. Tästä porukasta 6 munii myös historian. Kaikkiaan historian munineita on 20, joten tarvitaan 14 uutta opilasta eli vain historian munineet mukaan porukkaan. Yhteensä munineita on 15 14=29.
Ja 71 ei muni, eli kysytty todennäköisyys on 0.71.
Kysytty tn on 1 - (0,15 0,20 - 0,06) = 0,71 , koska
P(A U B) = P(A) P(B) - P(AB) ja kysytty tn on A U B - joukon komplementin tn eli
1 - P(A U B).
Ohman
>Mutta en ymmärrä miten siihen päästään.
Ehdolliset todennäköisyydet ovat monelle kompastuskivi, varsinkin jos ei ole tottunut pyörittelemään kaavoja. Monasti nämä voidaan ratkaista hahmottamalla tilanne visuaalisesti. Piirtelepä tämä tehtävä parerille seuraavasti.
1) Piirrä vapaalla kädellä suuri ympyrä kuvaamaan koko todennäköisyyskenttää. Merkkaa tämän pinta-ala, jonka ajatellaan vastaavan todennäköisyyttä , se on 1, eli 100 %.
2) Piirrä ison ympyrän sisään pienempi ympyrä, joka kuvaa englannin kokeessa epäonnistujia. Tämän pinta-ala on 15%.
3) Piirrä ison ympyrän sisään storian kokeessa epäonnistujia kuvaava pienempi ympyrä, jokaleikkaa hieman englannin ympyrää. Tämän pinta-ala on 20%.
4) Pikkuympyröiden leikkausalue kuvaa molemmissa kokeissa epäonnistuvia. Sen pinta-ala on 6%,
Hetken kuviota katseltuaan varmaan selviää, mikä on kysytyn, pikkuympyröiden ulkopuolelle jäävän alueen koko.
Huom. Tällainen puhtaasti graafinen ratkaisu ei sellaisenaan käy todistuksesta, koska siinä ei perustella mitään todennäköysyysaksioomiin pohjautuen. Tässä tehtävässä kysyttiin vain lopputulosta, jolloin menetelmä on käypä.
Tässä ei ole kyse mistään ehdollisista todennäköisyyksistä vaan ihan tavallisista tiettyjen joukkojen todennäköisyyksistä. Tarvittavat joukot olivat A, B, A U B, AB ja C(A U B) (A U B - joukon komplementti) kuten lyhyestä esityksestäni piti ilmetä.
Luulisin jokaisen lukijan ymmärtäneen mitkä nuo joukot olivat vertaamalla kaavaa ensin antamaani numeeriseen ratkaisuun
Ohman
Kuvilla todistaminen on perinteisesti ollut hyvän todistamiskäytännön vastaista.
Kuitenkin jos katselet tänä päivänä ulkomaalaisten yliopistojen luennoitsijoiden luentoja, todistavat ammattimatemaatikot lauseita usein pelkillä kuvilla. Voikin kysyä onko perinteinen tekstii perustuva todistus vain jäänne siltä ajalta kun painokoneet oli suunniteltu tekstille.
Jos piirrät tuollaisen kuvan ja ymmärrät mitä nuo ympyrät kuvaavat ja hallitset hieman bijektioiden ja topologian käsitteitä on helppoa ymmärtää että kuvatodistus on usein ekvivalentti sanalliselle/symboliselle todistukselle. Esim jos piirrän ympyrän ja sen sisälle ympyrän ja merkitsen näitä ympyröitä kirjaimilla A,B. On se oikein määriteltynä ekvivalentti merkinälle A ⊂ B.
Lienenkö ymmärtänyt jotain väärin, kun mielestäni "6% opiskelijoista epäonnistuu molemmissa kokeissa" on ehdollinen todennäköisyys. Tarkoitukseni ei ollut kritisoida vastaustasi, vaan antaa toisenlainen hahmottamistapa asiaan.
No ymmärsit väärin. Tuo 6 % = P(AB) eli joukkojen A ja B leikkauksen todennäköisyys. A=(epäonnistuvat englannin kokeessa) , B = ( epäonnistuvat historian kokeissa), AB = (epäonnisuvat molemmissa).
Kyllähän noilla Venn-diagrammoilla on aloittelijan hyvä selvittää asioita itselleen, jos on niin alussa tiedoissaan.
Ohman
Entä mikä on todennäköisyys että jos opiskelija epäonnistuu englannin kokeessa, hän epäonnistuu myös historian kokeessa?
Äskeisillä merkinnöilläni kysymäsi tn on
P(B l A) = p(AB) / p(A) = 0,06/0,15 = 2/5.
Ohman
Kiitos. nyt selkisi (ajatelin tota ensin jotenkin hyvin monimutkaisesti :DD)