Moro!
Laskin yo tehtävän:
5.a) Millä vakion p arvoilla polynomi 2px3 3x2 6x 1 on koko R:ssä aidosti kasvava?
(YLIOPPILASTUTKINTO 24.9.1993 MATEMATIIKKA, LAAJA OPPIMAARA )
Sain vastauksen, mutta en ole varma onko se oikein. Osaisiko joku laskea, niin voisin verrata vastausta? :)
Laskin yo tehtävän:
5.a) Millä vakion p arvoilla polynomi 2px3 3x2 6x 1 on koko R:ssä aidosti kasvava?
(YLIOPPILASTUTKINTO 24.9.1993 MATEMATIIKKA, LAAJA OPPIMAARA )
Sain vastauksen, mutta en ole varma onko se oikein. Osaisiko joku laskea, niin voisin verrata vastausta? :)
Vastaukset 9
Vanhimmat
Merkitään p(x) = 2px³ 3x² 6x 1.
p'(x) = 6px² 6x 6
Derivaatan ollessa aina positiivinen polynomi p on aina aidosti kasvava. Derivaattafunktion kuvaajan tulee siis olla ylöspäin aukeava paraabeli, jolla ei ole nollakohtia. Näin ollen p > 0 ja yhtälöllä 6px² 6x 6 = 0 eli px² x 1 = 0 ei saa olla (reaalisia) ratkaisuja, joten diskriminantin tulee olla negatiivinen.
D = 1² - 4 * p * 1 = 1 - 4p
D < 0 <=> 1 - 4p < 0 <=> p > 1/4 (> 0)
Vastaus: p > 1/4
Valitsit funktion nimeksi maailman kaikista kirjaimista juuri p:n, jolla on laskussa toinenkin merkitys!
Paraabeli ei ole aina aidosti kasvava, ainostaa huipun toisella puolella
"Paraabeli ei ole aina aidosti kasvava, ainostaa huipun toisella puolella"
Totta, mutta tuossa p on kolmannen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja ei ole paraabeli. Sen sijaan p' (eli funktion p derivaattafunktio) on toisen asteen polynomifunktio, jonka kuvaaja on paraabeli.
Jos p = 1/4, on tuo derivaatta = 6/4 x^2 6 x 6 = 6/4 ( x^2 4x 4) = 6/4 (x 2)^2 > 0.
No joo, onhan se 0 kun x = -2.
Itse sain p ≥ 3/8
Voin auttaa, jos jaksat kirjoittaa ratkaisusi kokonaisuudessaan tänne.
Huomasin itse laskuvirheen, kiitos vaan avusta.