Siis mitä täs pitää oikein tehdä :o
Vektorit 5i 2j ja i 12j ovat suorakulmaisen kolmion kaksi sivua. Määritä vektori, joka on tämän kolmion kolmas sivu. Näytä laskemalla, että saamasi kolmio on suorakulmainen. Laske kolmion pienimmän kulman suuruus? Mikä se tuntematon on onks se hypotenuusa vai
Vektorit 5i 2j ja i 12j ovat suorakulmaisen kolmion kaksi sivua. Määritä vektori, joka on tämän kolmion kolmas sivu. Näytä laskemalla, että saamasi kolmio on suorakulmainen. Laske kolmion pienimmän kulman suuruus? Mikä se tuntematon on onks se hypotenuusa vai
Vastaukset 4
Vanhimmat
"Määritä vektori, joka on tämän kolmion kolmas sivu." Noinhan juuri sanoit eli etsi vektori, joka yhdistää annettujen vektorien 'päät'. Helpointa olettaa että annetut vektorit lähtevät origosta, jolloin yhdysvektori on -4i 10j. Kuvan piirtämällä tajuaa viimeistään, että yhdysvektori ei ole hypotenuusa vaan pidempi kateetti. Suorakulmaisuus todetaan laskemalla pistetulo, taas kuvasta voi nähdä minkä vektorien välinen kulma on suora. Samoin kuvasta voi nähdä missä on pienin kulma, ja sen laskeminen tietysti alfa=cos^-1(a*b/(|a||b|)) (tähtimerkki vihjaa toki pistetulon pistettä).
Mikähän vektori ei "lähde origosta"?Kerropa esimerkki!
Yleinen R^3-avaruuden vektori on x i y j z k ja kyllä se origosta "lähtee".
Itse tehtävä: Kolmas sivu on i 12 j - 51 - 2j = -4 i 10 j. Tämän pituus on sqrt(116).
Sivun i 12 j pituus on sqrt(145) ja sivun 5 i 2 j pituus on sqrt(29).
((-4 i 10 j), (5i 2)) = -20 20 = 0 eli nämä ovat kateetit ja kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pisintä sivua edestaa vektori i 12j, tämä on hypotenuusa.
Kolmion yksi kulma on siis suora. Muut kulmat saadaan
näin:
((-4i 10 j),(i 12 j)) /(sqrt(116) sqrt(145) = sqrt(116) / sqrt(145) = 0,894 ja kulma on siis arccos (0,894) = 26,6 astetta.
((5i 2j),(i 12 j) / (sqrt(29) sqrt(145) = sqrt(29) / sqrt(145) = 0,447 ja kulma on
arccos(0,447) = 63,4 astetta.
Kulmien summa on 90 26,6 63,4 =180 kuten pitääkin.
Ohman
Lisäkommentti: Koska kolmio on suorakulmainen, saadaan nuo kulmat tietenkin laskettua ilman mitään sisätulojen (pistetulojen) laskemistakin kun kerran sivujen pituudet tunnetaan.Kulmien cosinit ovat yksinkertaisesti sqrt(116)/sqrt(145) ja sqrt(29)/sqrt(145).Tämähän näkyi myös tuosta laittamastani kaavasta.
Samojen kulmien sinit ovat tietysti sqrt(29)/sqrt(145) ja sqrt(116) / sqrt(145), sillä
sin(a) = cos(pi/2 - a).Tai sin(a) = sqrt(1 - cos^2(a)).
Mutta yleisemmässä tapauksessa kulmat saadaan laskettua noiden pistetulojen ja vektorien pituulksien avulla.
Ohman
Kompleksilukujen kanssa kikkaillessa olen aina miettinyt seuraavasti.. Merkinnöissä i osoittaa siirtymän x-koordinaatistossa (oikealle plusmerkkisillä luvuilla, vasemmalle negatiivisilla) ja j vastaavasti y-akselille (ylöspäin plussaa, alaspäin miinusta). Loput voi ratkaista vaikka trigonometrialla. Ruutupaperille piirtely auttaa.
Siinä vaiheessa kun opiskelet AMK:ssa tietotekniikkaa ja sähkötekniikan luennoilla opettaja käskee pistämään vaihtovirtaa ja jännitettä kulmassa 60 laskimeen, eikä sulla ole laskinta, jossa on kulmafunktiota...meneehän se trigonometriallakin, jos ymmärrät i:n ja j:n merkityksen ;). Sitä en tänäkään päivänä tiedä, miksi moisia laskimme ja niillä tunneilla istuimme, tietotekniikan inssit?