Kuva tehtävästä: http://i.imgur.com/6kcvB70.png
Tentti on tulossa, asiaa ei ehditty käsitellä luennoilla ja luentokalvoissa ei ole esimerkkejä. Osaisiko joku kertoa miten tällaiset lasketaan tai antaa avainsanoja joilla voin hakea esimerkkejä aiheesta esim KhanAcademystä?
Tentti on tulossa, asiaa ei ehditty käsitellä luennoilla ja luentokalvoissa ei ole esimerkkejä. Osaisiko joku kertoa miten tällaiset lasketaan tai antaa avainsanoja joilla voin hakea esimerkkejä aiheesta esim KhanAcademystä?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Khan Academissa ei ole valitettavasti vielä ollenkaan abstraktia algebraa, joten sieltä ei kannata etsiä. Tehtävä lienee yliopiston syventävien opintojen kurssilta (Algebra II tms.).
Minun aikana yliopiston algebran syventävällä kurssilla ei tullut vastaan 2-aditisten lukujen rengasta Z_2.
Osoita että Z_2 -kertoiminen polynomi p(x) = x^4-x^3-1 on jaoton. Joten tuo F_16 (joka siis on F_2[X]/(p(x)) ) on kunta. Näin ollen yksiköiden ryhmä F*_16 on kertaluvultaan 15.
Primitiivisen alkion löytämiseen on olemassa Gaussin algoritmi (ks. esim http://users.jyu.fi/~lehtonen/opetus/sl2013/GF_5.pdf ) mutta tällaisessa tapauksessa sen etsiminen käy varmaan helpoiten arvaamalla ja kokeilemalla. Alkion kertaluvun täytyy jakaa ryhmän kertaluku, eli se on 1, 3, 5 tai 15. Täytyy siis testata kolmas ja viides potenssi.
b-kohtaan:
b^100 = b^(6*15) 10 = (b^6)^15 * b^10 = 1 * b^10 = (b^2)^5 = (b^2)^(2*2 1) = b*((b^2)^2)^2
Tässä on käytetty sitä että äärellisen ryhmän alkion kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun eli tämä alkio potenssiin ryhmän kertaluku antaa ykkösalkion. Loppulasku b^10:n laskemiseksi on ns. nopea potenssiinkorotus (korotetaan toiseen ja kerrotaan kantaluvulla eksponentin binääriesityksen mukaisesti).