Ratkaise yhtälö: lg(x-1) lg(x-2) lg(x 3)=lg6
Eli pystyykö tätä ratkaisemaan tietämättä mitään kolmannen asteen yhtälöistä. En nimittäin tiedä niistä mitään mutta saan tehtävästä kolmannen asteen yhtälön, jota en osaa ratkaista. Miten tehtävä tulisi ratkaista teidän mielestänne?
Joudun käymään koko pitkän matematiikan nyt läpi ilman opettajaa ja siksi kysymykseni saattaa olla tyhmä joten pahoittelut:) Ja kiitos jos joku osaa auttaa.
Eli pystyykö tätä ratkaisemaan tietämättä mitään kolmannen asteen yhtälöistä. En nimittäin tiedä niistä mitään mutta saan tehtävästä kolmannen asteen yhtälön, jota en osaa ratkaista. Miten tehtävä tulisi ratkaista teidän mielestänne?
Joudun käymään koko pitkän matematiikan nyt läpi ilman opettajaa ja siksi kysymykseni saattaa olla tyhmä joten pahoittelut:) Ja kiitos jos joku osaa auttaa.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Tuosta näet aika helposti että x:n nollas potenssi supistuu pois sillä molemmille puolille tulee 6. Eli x=0 on yksi juuri.
Mutta toisaalta Wolfram Alpha väittää muuta:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve lg(x-1) lg(x-2) lg(x 3)=lg6
EiNiinVaikean antama x=0 ei voi olla yksi ratkaisu, koska silloin joutuu ottamaan logaritmin negatiivisesta luvusta ja sehän taas ei käy...
(x-1)(x-2)(x 3) = 6 kun kerrotaan auki, niin tulee x(x^2 - 7) = 0, jonka juuret ovat x=0, x=sqrt(7) ja x=-sqrt(7)
näistä kelpaa vain tuo sqrt(7)
Mitäs on lg(x-1), jos x=0 ?
Ei määritelty, mutta funktiolle lg(x-1) lg(x-2) lg(x 3) löytyy analyyttinen jatko lg((x-1)(x-2)(x 3)), joka on määritelty kun -32.
Määrittelyjoukko:
x - 1 > 0 ja x - 2 > 0 ja x 3 > 0
eli x > 2
lg(x - 1) lg(x - 2) lg(x 3) = lg6
lg((x - 1)(x - 2)(x 3)) = lg6
(x - 1)(x - 2)(x 3) = 6
(x - 1)(x² x - 6) = 6
x³ - 7x 6 = 6
x³ - 7x = 0
x(x² - 7) = 0
x = 0 tai x = ±√7
Näistä vain x = √7 toteuttaa ehdon x > 2.
Vastaus: x = √7
Kiitos! Näinhän se näköjään menee ja nyt näyttää taas helpolta tehtävältä. Sellainen tuli mieleen tuossa kommentteja lukiessa: Joku sanoi ettei negatiivisesta luvusta voi ottaa logaritmia? Kiinnostaisi tietää onko tämä kuitenkin mahdollista jos logaritmin arvo on pariton?
Voit toki ajatella moisen tilanteen funktion laajennukseksi, noin periaattessa, mutta kyse on yleensä siitä miten määritellä funktio R:n osajoukossa, tai sitten siellä komleksitasossa. Tuossa tilanteessa olisi äkkiseltään vaikea edes sanoa, mikä määrittelyjoukon laajennus tarkasti ottaen on. Jat jatkuvasta funktiosta ei oikein ole taas sitten kyse.
Jatka vaan treenausta treenausta derivoimalla f(x)=log_x(y), missä y on vakio.
Ei voi ottaa (reaalista) logaritmia negatiivisesta luvusta. 10^a > 0, joten sellaista reaalilukua, jolla eksponenttifunktio saisi negatiivisen arvon ei ole. Näin ollen logaritmia ei voi ottaa negatiivisesta.
Logaritmin voi kuitenkin laajentaa kompleksitasoon, jolloin jokaisella nollasta eroavalla kompleksiluvulla on logaritmi olemassa (itse asiassa äärettömän monta logaritmia, jotka eroavat toisistaan 2pi*i:n monikerroilla).
Katso esim. https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_logarithm
---------------------------------
exp(R) = R
exp: (C) = C/{0}
Logaritmi on exp:n käänteisfunktio, joten
log(R ) = R
log(C/{0}) = C
Katsos. Eihän kukaan ole moista logaritmia todella määritellyt, ainakaan tietääkseni, mutta sellainen on toki mahdollinen.
Logaritmihan on hyvin luonnollisella tavalla kahden muuttujan funktio, kun kanta on toinen argumentti.
Tarvittavan laajennuksen määrittelyjoukko on toki hyvin luonnollisella tavalla olemassa. Esim. log_(-2)(8) = 3 voitaisiin varsin hyvin laajennuksella määritellä ja laskea.
Tuo jatkuvuus(relatiivi topologian suhteen)palautuu domainin tiheyteen ja se on ainakin äkkiseltään hiukan epätriviaalia. Intuitioni sanoo, että numeroituva määrittelyjoukko ei ole tiheässä. Voi mennä pieleenkin. En jaksa ruveta hirveästi miettimään, kun ei tässä maassa ole tapana ollut muutenkaan.
Hyvä kysymys sinänsä, koska moinen logaritmi kyllä voitaisiin luonnollisella tavalla määritellä.
Derivaatan saa muuten komeasti hobitaililla, se oli vaan vinkki siihen mistä todella on kyse. Jouduin sen kerran lukuteoria leikeissä johtamaan, enkä enää muista. Derivoikaa se nyt, kun pirun näppäriä olette.
Se oli tasan näin.
Ja niin sellä on sitten yksi fuckedupsignum, eli -8.
Mites kävikin...
Ole hyvä.
Logaritmi voidaan tosiaan ottaa vain aidosti nollaa suuremmista luvuista, kuten tässä on jo todettu.
Huomaa että minulla kävi virhe! Exp ei ole injektio, joten käänteisfunktiota ei ole olemassa. Mutta logaritmeja on ja niitähän on sitten äärettömän monta.