Kysymys todennäköisyyslaskennasta

Tässä simuloitu kuvaaja, x-akselilla p käy nollasta ykköseen (50 väliä).
http://aijaa.com/XPgTLn
Tästä näkisi varmaan osviittaa mikä vastaus voisi olla. Jonkinlainen eksponentiaalinen lenkura!

Laskettuna todennäköisyys olisi summa todennäköisyyksistä, että kierroksella k on (X:n voitot) = (Y:n voitot 3) , ja että aikaisemmilla kierroksilla voitot ovat olleet korkeintaan kahden päässä toisistaan, k käy 3:sta äärettömään. Melko monimutkaiselta laskettavalta kuulostaa...

Minulla ei siis ollut ratkaisua mutta kokeilin simuloida tuota ja laitoin sitten tuon graafin. Onhan se kylläkin melkein jo intuitiivisesti selvää että jotenkin tuolla tavalla sen todennäköisyyden täytyy mennä. Puolikkaassa puoli ja sitten menee melko nopeasti symmetrisesti (symmetrinen peli pelaajille) nollaan/ykköseen.

Mietin nyt vähän lisää tätä ongelmaa. Sain seuraavanlaisen ratkaisun. Simuloinnin tulos tukee tätä tulosta.

Merkitään A:n voittoa 1 ja B:n voittoa 0.
Yksi n kierrosta sisältävä peli on siis binäärijono.
Jotta se päättyisi pelaajan A voittoon, on siellä lopussa oltava kaksi ykköstä (jos toiseksi viimeisin olisi 0, niin B kirisi tilannetta ja koska A ei ollut vielä voittanut koko peliä, ei hän voi seuraavalla kierroksella vielä voittaa, vaan hänen voiton täytyy tapahtua siten, että hän voittaa kaksi viimeistä kierrosta.

Selvästi myös pelin pituus täytyy olla vähintään 3 ja pariton, sillä A:n voittoja on kolme enemmän, joten yhteensä kierroksia on 2*(B:n voittojen lkm) 3.
[Tämä siis olettaen että A voittaa peli, jonkalaista tilannetta nyt tutkitaan, vastaavasti tietenkin vaikka voittaja olisikin B.]

Tutkitaan m-pituisia 0,1 -jonoja, jotka nyt merkkaavat sitä alkupäätä (jätetään lopun kaksi ykköstä pois eli m = n - 2).
Merkitään jonon x nollien lukumäärää zeros(x) ja
ykkösten lukumäärää ones(x). Lisäksi x:n alkupäätä k:hon asti merkitään
x[0:k].
Täytyy selvittäää niiden jonojen lukumärä, jotka totetuttavat ehdot:

Ehto 1:
ones(x) = zeros(x) 1
ja
Ehto 2:
|ones(x[0:i]) - zeros(x[0:i))| < 3 kaikille i<=m

Selvästi tällaisia jonoja ei ole, jos n on parillinen, sillä Ehto1 sanoo, että

m = ones(x) zeros(x) = zeros(x) 1 zeros(x) = 2*zeros(x) 1

Ja parittomia m ei tarvitsisi muutenkaan tutkia, sillä tutkitaan vain parittomia, vähintään 3 olevia n:n arvoja, joten myös m = n-2 on pariton ja vähintään 1.

Hypoteesi 1: Parittomille m = 2k 1 tällaisten jonojen lukumäärä on 3^k.

Oletetaan tämä hypoteesi todeksi.
Tällöin todennäköisyys, että A voittaa kierroksella n = 2k 3, on

3^k * p^(k 1)(1-p)^(k) * p^2

Todennäköisyys, että A voittaa pelin on todennäköisyys, että hän voittaa jollain kierroksella ja koska nämä ovat erillisiä tapahtumia, on tn summa


$$ \sum_{k=0}^{\infty} 3^k p^{k 1}(1-p)^k p^2 $$
$$=p^3 \sum_{k=0}^{\infty} (3p(1-p))^k $$
$$= \frac{p^3}{1-3p(1-p)}$$

(Katso sarjan summan lasku paremmassa muodossa täältä: http://i8.aijaa.com/b/00041/14138629.jpg)

Siis ratkaisu olettaen tuo hypoteesi 1 on p^3/(1-3p(1-p)).

Tässä vielä simuloinnin tulos ja tuo saamani ratkaisu samassa kuvaajassa http://aijaa.com/Dfslsv.

Saattaa vähän näyttää niin kuin sininen olisi vähän isompi tuossa keskivaiheilla, mutta tämä johtu siitä, että ne saman kohdan pylväät ovat vierekkäin. Lukuarvoja katselemalla se ero heittelee puolelta toiselle, joten tämä kertoisi että aika luultavasti tuo ratkaisu on varmaan oikein.

Kiitos avusta! :)

Hyvää työtä Nokikanalta :)