Pitäisi laskea erotus π^e - e^π. Laskimella kyllä saa, mutta mikä on logiikka käsin? Logaritmien avulla (vaikka siihenkin kyllä tarvitaan laskinta/taulukkoa)?
P.S. En teetä kotitehtävää, tämä on matikkakerhon juttuja.
P.S. En teetä kotitehtävää, tämä on matikkakerhon juttuja.
Vastaukset 26
Vanhimmat
Ei kai tuo tuosta sievene. Numeerisilla menetelmillä saa likiarvon. Saat sarjakehitelmillä piille ja eelle likiarvon, jolloin lauseke muuttuu desimaaliluvuilla laskemiseksi.
Kävisikö näin:
pi^e = e^(e ln (pi)) ja e^x = Summa(k>= 0) x^k/k! = 1 x x^2/2! x^3/3! ...
Sijoitat tuohon sarjaan x:n tilalle luvun e ln(pi) jolloin saat laskettua likiarvoa luvulle pi^e ja sitten sijoitat sarjaan x:n tilalle luvun pi jolloin saat laskettua likiarvoa luvulle e^pi.
Siinä saa sitten miettiä montako termiä sarjoihin ottaa ja monellako numerolla nuo luvut e,pi ja ln(pi) olisi otettava jotta saataisiin tietty haluttu tarkkuus.Jos nyt näin tarkkoja tarkasteluja tarvitaan.
Ohman
Niin ja jos lukua ln(pi) ei muuten löydy (logaritmitaulut ?) niin on silläkin sarjakehitelmiä:
ln(x) = 2((x-1)/(x 1) 1/3* ((x-1)/(x 1))^3 1/5 * ((x-1)/(x 1))^5 ...)
=
2 Summa(k >= 1) (1/(2k - 1)) * ((x - 1)/(x 1))^(2k - 1) kun x > 0
tai
ln(x) = ((x-1)/x) 1/2 * ((x-1)/x))^2 1/3 * ((x-1)/x)^3 ...
=
Summa(k >= 1) (1/k * ((x-1)/x)^k kun x >= 1/2
Noissa summissa tuo k> = 1 tarkoittaa siis summaa jossa k käy yhdestä "äärettömään" : 1 <= k <= inf.Vastaavasti k >= 0 - tapauksessa.
Noita lukuja pi ja e ei sentään tarvinne laskea? Ja löytyisihän tuo ln(pi) taulukosta, kuten jo sanoin, jos laskukonetta ei saa siihenkään käyttää.Mutta sarjoilla menisi kuten kerroin.
Ohman
Jotenkin vaikuttaa siltä, että tehtävänä on ollut laskinta käyttämättä selvittää kumpi noista luvuista on suurempi, eikä varsinaisesti laskea sitä erotusta.
Siihen sitten taas löytyy kuuklettamalla hyvin paljon tavaraa netistä ihan vaan hakemalla: π^e - e^π, turha niitä tähän on kopioida.
Kerrotaan kuitenkin pääpiirteet osoituksesta. Väitetään siis että π^e < e^π. Sille on ekvivalenttia että e < π/lnπ. Tutkittaessa funktiota x/lnx nähdään että sillä on minimiarvo e kohdassa x=e. Siis kohdassa x=π funktion arvo >e.
Toisaalta voihan olla, että harjoiteltiin myös eri lukujen likiarvon laskemista ja virheen osoittamista tarpeeksi pieneksi. Minusta ei pidä arvata mitä toinen hakee tehtävällä vaan vastata siihen, mitä kysytään.
Jos tehtävänä olisi vain osoittaa, kumpi on suurempi pi**e vaiko e**pi, niin
r = pi**e / e**pi
log(r) = e log(pi) - pi log(e)
Taulukoista saadaan
pi=3.17159
e=2.71828
log(pi) =0.497
log(e)= 0.434
log(r) = -0.01298
r = 0.97055 ---> pi**e < e**pi
Periaatteessa laskuria ei tarvita, jos jaksaa vääntää laskutoimitukset käsin.
Tuosta voidaan vielä jatkaa
a=pi**e
b=e**pi
a/b=r
b/a= 1/r
b/a - 1 = 1/r -1
(b-a)/a = (1/r-1)
b-a = a (1/r-1)
log(b-a) = log(pi**e) log(1/r -1) = e log(pi) log(1/r-1) = -0.16654
b - a = 0.6815
a - b = -0.6815
x-y: x>9 ja y>8
Olkoon x = 10 ja y = 12. Nyt x > 9 ja y > 8 mutta ei ole x > y vaan on y > x.
Siinä matikkapojun logiikka.
e ja pi välillä vallitsee yhteys
e**-(pi/2) = i**i
i**i on reaaliluku, olkoot ilman laskinta vain nyt c
pi = - 2 ln(c)
e = c**(2/pi) = c**(-1/ln(c))
jne...
laskurilla
c = 0.207879576
Jos e^(- pi/2) = c niin e = c^(- 2/pi) = c^(1/ln(c)) (e^ ln(c) = c)
Laskisit edes oikein kun tällaisia kommentteja raapustelet.
Ohman
Joo. Merkkivirhepirulainen. Anteeksi kauhiasti.
eikös tuo nyt ole paljon helpompi logaritmien laskusäännön kautta kuin sarjakehitelmillä?
Onhan se tietenkin jos logaritmitauluja saa käyttää. Lasketaan log(e^pi) = pi * log(e) ja etsitään sitten luku jonka logaritmi tuo on.Lasketaan samoin pi^e.Lopuksi vähennyslasku.
Jos logaritmitaulua ei saa käyttää tuo ei sitten onnistu.
Jos taas logaritmit katsoo laskukoneesta niin eipä ole sitten kaukana ajatus laskea koko lasku koneella jolloin koko tehtävässä ei enää ole paljonkaan järkeä.
Ohman
mitä jos tuosta ottaakin luonnollisen logaritmin? (ln) jolloin saa pii*lne muodon?
Tällöin tietysti ln(e^pi) =pi mutta ln(pi^e) = e ln(pi) .
Mutta:
1. Joutuuhan taas etsimään ne luvut joiden luonnollisia logaritmejä nuo ovat.
2. Pitäisi käyttää luonnollisten logaritmien taulua . Yleensä nuo taulut ovat kantaluvun 10 logaritmejä. Koska x = e^(ln(x)) on log (x) = ln(x) log(e) joten
ln(x) = log(x)/log(e) eli näin saa luonnolliset logaritmit lausuttuna 10-kantaisten logaritmien avulla
.Mitähän tässä hyödyttäisiin tämän tehtävän osalta?
Ohman
Entäpä, jos tehtävänä olisi laskea erotus 3.876547**2.347652 - 2.347652**3.876547 ilman laskinta logaritmitaulujen avulla.
Aloitin ketjun. Kerhon vetäjän mukaan tarkoitus oli sellainen kuin Ohman esitti. Siis heurekekattava ﬨ :n ja e:n välinen yhteys ja haettava e sarjan avulla. Sain vastaukseksi kahden desimaalin tarkuudella -0.68. Vastausta pyydettiin kahden desimaalin tarkkuudella; en maininnut aloituksessa, kun olin kiinnostunut vain ratkaisutavasta.
Kiitos vastanneille, joukosta löytyi monenlaisia hyviä vinkkejä.
Mä tekisi ihan vaan etsimällä tarpeeksi hyvät rationaaliapproksimaatiot piille ja e:lle ja laskisin rationaalilukujen potensseilla tarpeeksi tarkat ala- ja ylärajat.
Luvuilla pii=22/7 ja e=19/7 tulee erotukseksi -0,682 eli tuo kahden desimaalin tarkkuus täyttyy nippa nappa.
Mutta miten laskit nuo luvut e^pi ja p^e? Koneellako? Sehän tässä ei ollut tarkoitus. Vai sarjoilla?Vai logaritmeillä? Vai miten?
Kerrohan nyt tuokin.
helpostin:
Miten sitten laskisit ilman konetta nuo rationaalilukupotenssit?
Ovathan ne desimaaliset likiarvotkin rationaalilukuja.
Jos käytät logaritmejä eihän ehdotuksesi mitenkään eroa tuosta jo annetusta.
Jos käytät sarjoja niin sekin on jo esitetty.
Mitä uutta siis esität?
Niin, voidaan tietysti kysyä mitä järkeä on koko tehtävässä kun se voidaan hyvin helposti laskea nykyaikaisilla koneilla. 50 vuotta sitten se olisi voitu laskea logaritmitauluilla käyttäen piin ja een likiarvoja. Jos sen sijaan olisi ollut kyseessä vain nelilaskin, tuo murtolukuesitys olisi ollut laskettavissa suhteellisen helposti. Seitsemättä juurta ei tietenkään saa mutta kokeilemalla se tulee aika helposti kahden desimaalin tarkkuudella. Ja differentiaalin avulla voitaisiin laskea virhe. Niin että lopeta Orwell-84 rähjäämisesi.
Käytät merkillistä termiä "rähjätä" ihan tavallisesta kysymyksestä!Kommenttisi oli sen verran lakoninen että olihan tuota syytä kysyä.
Koeta rauhoittua. Ei tämä maailman tärkeimpiä asioita ole.