Apua logaritmeihin!

Kymmenkantainen logaritmi: (lg)

lg10=1
lg100=lg10^2=2
lg1000=3
lg10^4=4
...
lg10^n=n

e-kantainen logaritmi (luonnollinen logaritmi): (ln) e on noin 2.7.

ln1=lne^0=0
lne=e^1=1
lne^2=e
lne^3=3
...
lne^n=n.

Esimerkki: mihin potenssiin 10 on korotettava, että saadaan 7?

Olkoon kysytty luku x.

10^x=7
toisaalta lg10^x=x eli
Koska 10^x=7, on lg10^x=lg7
eli x=lg7, joka on noin 0.845.

Vastaus on järkevä, koska 10^0<10^0.845<10^1
eli 1<7<10.

Eiköhän sitä apua löydy netistäkin.Wikipediassa on jotain, englanninkielisessä enemmän (logarithm).

Voit myös katsoa tältä keskustelupalstalta sivulta 12 kommenttini / 12.1.2016 klo 10.41
kysymykseen " Logaritmien kantajärjestelmien väliset yhteydet".

Logaritmin määritelmähän on tämä: a on kantaluku ja sen mukainen luvun x logaritmi

log(a,x) on sellainen luku, että kun a korotetaan potenssiin log(a,x) saadaan x.

Siis jos kantaluku on esim. 10 niin log(10,100) = 2 sillä 10^2 = 100.

Kantaluvun a tulee olla positiivinen ja luku 1 ei käy kantaluvuksi sillä 1^y = 1 olipa y mikä luku hyvänsä ,

Ohman

Muutamia hauskoja ominaisuuksia:

Logaritmin kantaluvuksi voidaan valita mikä tahansa positiivinen luku paitsi 1.
1 ei voi olla kantalukuna, koska 1^x on aina 1. Siis, jos olisi 1-kantainen logaritimi, olisi esimerkiksi yhtälön 1^x=2 ratkaisu log2 (1-kantainen logaritmi). Kuitenkin 1^x=1, joten 1-kantainen logaritmi ei olisi mielekäs.

Tarkastellaan k-kantaista logaritmia (k-voi olla mikä tahansa edellä mainittu luku):
Tarvittaessa kannattaa kerrata potenssien laskusäännöt.

log1=0 , koska k^0=1

logk^n=n, koska k^n=k^n

logx^n=nlogx, koska k^(logx^n)=x^n mutta myös k^(nlogx)=(k^(logx))n=x^n

Koska k^logxy=xy ja k^(logx logy)=k^log(x)*k^(logy)=xy, on

logxy=logx logy.

Vastaavasti log(x/y)=logx-logy

Logaritmi on siis hyödyllinen ratkottaessa yhtälöitä, joissa muuttuja on eksponentissa:

esim (0.5)^n=27
Yhtälö voidaan ratkoa käyttämällä logaritmia (esimerkiksi e-kantaista)
saadaan
ln((0.5)^n)=ln27
eli nln0.5=ln27 ja n=ln27/ln0.5

Yhtälö voidaan ratkaista myös käyttämällä 0.5-kantaista logaritmia (ei välttämättä löydy laskimesta)

log(0.5)^n=log27
n=log27

koska yhtälön ratkaisu on luonnollisesti sama riippumatta käytetystä logaritmista, havaitaan myös eri kantaisten logaritmien välinen yhteys:

Havaitaan siis, että 0.5 kantainen logaritmi luvusta 27 on ln27/ln0.5.

Yleisemmin jos halutaan muuttaa k-kantainen logaritmi m-kantaiseksi, saadaan

log_k(x)=log_m(x)/log_m(k)

Tämä voidaan myös todistaa käyttämällä potenssien laskusääntöjä.

Yritänauttaan viestissä esitetään:

lne=e^1=1

Laskukone näyttää: e^1 = 2.718281828