Mikä on funktio?

Suureet ovat vaikkapa x ja y. y on funktio x:stä merkitään y = f(x). Tuo f tarkoittaa laskutoimituksia tai muita sääntöjä joilla jostakin suureen x arvosta saadaan suureen y arvo. Esim jos y = f(x) = 2*x 3, sääntö on että kukin x:n arvo kerrotaan 2:lla ja tulokseen lisätään 3 y:n arvon saamiseksi.

Esimerkiksi olkoon y neliön pinta-ala ja x neliön sivun pituus. Silloin y voidaan lausua x:n avulla y=x^2 eli y=f(x)=x^2.

Tai jos kilo ruokaa maksaa 3€/kg ja x on ostetun ruuan määrä kiloissa ja y hinta on y=f(x)=x*3€.

eli ensimmäisessä tapauksessa suuret sivun pituus ja pinta-ala sitoo toisiinsa sääntö, että pinta-ala on sivun pituus toiseen ja toisesssa tapauksessa suureet ostetun ruuan määrä ja ruuan hintaa sitoo yhteen sääntö, joka kertoo, että kilo ruokaa maksaa aina 3 euroa.

Funktio on tulojoukon osajoukko.

Olkoon joukko A={1,2,3} ja joukko B={5,6,7,8} niin näiden tulojoukko on
AxB={(1,5),(1,6),(1,7),(1,8) , (2,5),(2,6),(2,7),(2,8), (3,5),(3,6),(3,7),(3,8)}
ts. joukoista muodostettuja pareja joista parin ensimmäinen jäsen on joukosta A ja toinen joukosta B.
Funktio f on tämän joukon osajoukko, jossa jokainen A joukon jäsen esiintyy täsmälleen kerran ja jokaiselle A on pari joukosta B. esim.
f={(1,5),(2,5),(3,7)}
Jokainen lähtöjoukon A alkio 1,2,3 esiintyvät tasan kerran. Maalijoukon B alkio 5 esiintyy kahdesti ja alkiot 6,8 eivät kertaakaan.
Tutummin merkinnöin
f(1)=5
f(2)=5
f(3)=7

Funktio kuvaa kahden joukon välistä riippuvuutta. Sitä merkitään f:A-->B jossa A on lähtöjoukko ja B on maalijoukko. Esimerkiksi jos A=perheen X etunimet ja B on kaikkien suomalaisten etunimet. Siis funktio f on
f:perheen X etunimet --> kaikkien suomalaisten etunimet

Aloittaja kertoi olevansa opinnoissa alkumetrillä. Jotenkin luulisin että nämä kaksi viimeisintä havainnollistusta funktion olemuksesta eivät olleet parhaita mahdollisia.

Ilman lämpötila on ajan funktio.
llmanpaine on korkeuden funktio.
Vaatteiden sopiva koko on pituuden ja painon funktio.
Suomen bruttokansantuote on ajan funktio
Loppunopeus on kiihtyvyyden ja ajetun matkan funtio.

Neliön pinta-ala on sivun funktio. A=s^2
Kuution tilavuus on särmän pituuden funktio V=s^3
Sijoituksen kasvu on koron ja ajan funktio
Matka-aika Tallinaan on laivan nopeuden funtio.

Kun y'n arvo riippuu x'n arvosta niin y on x'n funktio
merkitaan y=y(x) tai y=f(x)

Korkeamman matematiikan hienostelut ehdit oppia myöhemmin.
Funktion perusajatus on yksinkertainen ja käytännöllinen.

"Suomen bruttokansantuote on ajan funktio."
Aika sinänsä ei selitä mitään! Jos selittää, ovat kaikki mahdolliset muuttuvat tapahtumat sitten ajan funktioita, mikä ei ole kovin informatiivista!

"Funktio tarkoittaa matematiikassa kahden suureen välistä riippuvuutta kuvaavaa sääntöä".
Tuossa aloittajan siteeraamassa lauseessa olennaista on nimenomaan se sääntö. Jos todetaan: "Ilman lämpötila on ajan funktio", tarkoitetaan yleensä että ilman lämpötila vaihtelee ajallisesti mutta tuon säännön esittäminen onkin sitten vaikeampi juttu, kuten meteorologit tietävät. Sama pätee tuohon kansantuloon. Eli parempi olisi antaa sellaisia esimerkkejä joissa sääntö on määritettävissä.

Funktio tarkoittaa sitä että lähtöjoukon jokaisesta alkiosta lähtee vain YKSi nuoli maalijoukkon. Lähtöjoukon KAIKISTA alkioista lähtee nuoli, maalijoukossa voi olla alkioita joihin ei liity nuolta, tai maalijoukon samaan alkioon voi päättyä useampi nuoli.

Lähtöjoukon jokaisesta alkiosta ammutaan kuin Angry Birds-pelissä YKSI ammus maalijoukkoon. Tämä ammus osuu: johonkin maalijoukon alkioon, joihinkin maalijoukon alkioihin ei osu mitään, joihinkin maalijoukon alkioihin osuu useampi ammus.