Osaan muodostaa konformikuvauksen puolitasolta tai äärettömän pitkältä "vyöltä" origokeskiselle yksikkökiekolle. Miten sitten kuvaus muodostetaan vaikka kolmiolta tai neliöltä tuolle yksikkökiekolle?
Sanotaan, että neliön kärkipisteet ovat 0, 1, 1 i ja i.
Kiitos.
Sanotaan, että neliön kärkipisteet ovat 0, 1, 1 i ja i.
Kiitos.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Kun et vaatinut bijektiivisyyttä, niin eikä tuo mene yksinkertaisesti esim. läväyttämällä se kolmio tai neliö jo muodostamasi kuvauksen lähtöjoukolle, siis sille puolitasolle? (Tää on vähän heittoarvaus, en ole ainakaan 3o vuoteen miettinyt näitä).
Totta. Bijektiivisyys piti vielä mainita. Pahoittelut.
Osaan siis muodostaa sopivan kuvauksen sellaisissa tapauksissa, joissa lähtöjoukko on esimerkiksi {z∈ℂ: Im(z) > 0} tai {z∈ℂ: 0 < Im(z) < 1}. Sen sijaan tuollaisen neliön kohdalla en pääse eteenpäin.
En tunne aihetta vielä kovin hyvin. Näin ollen en osaa sanoa, onko tehtävä liian vaikea ratkaistavaksi (kohtuullisella vaivalla) kynän ja paperin avulla.
Mulla on kirja Råde, Westergren: Mathematics Handbook for Science and Engineering. Siinä on annettu kuvaukset puolitasolta nelikulmiolle ja kolmiolle sivulla 358. Kai se menee niiden käänteiskuvauksena, vai onko konformikuvauksen käänteiskuvaus aina konformikuvaus? En tunne asiaa. Katso tuosta kirjasta. Tuo on vaan taulukkokurja, eli siinä ei ole todistuksia.
Esim. Nevanlinna-Paatero: Introduction to Complex Analysis (Second Edition) kertoo viimeisessä luvussa näistä asioista. Annetaan kuvaus monikulmiolta kiekolle lwl < 1 (Schwarz-Christoffel - kaava) . Todetaan, että monikulmion kolmen kärkipisteen kuvapisteet voidaan valita mielivaltaisesti ja loput kärkien kuvapisteet määräytyvät tästä. Yleensä niitä ei kuitenkaan voida laskea eksplisiittisesti annettujen kärkipisteiden avulla. Tietyissä erikoistapauksissa niiden paikat voidaan laskea, esim. silloin kun monikulmio on säännöllinen.
Harjoitustehtävänä teos pyytää kuvaamaan säännöllisen n-kulmion kiekolle ja käsittelemään erikoistapauksena neliötä. Annetaan vihje:
Jaa monikulmio keskikolmioihin (central triangles) ja kuvaa jokainen kolmio ympyräsektorille (circular sector) jonka keskuskulma on ( 2 * pi) / n.
Myös Ahlfors: Complex Analysis selostaa asiaa, mm. tuota S-C-kaavaa.
Kirjoitin vähän pitemmänkin jutun mutta joko koneeni tai tämä sivusto ryppyili ja hävitti koko sepustuksen. En riskeeraa toista kertaa.
Ohman
Lisään nyt vielä: Zeev Nehari: Conformal Mapping ( Dover Publications) sisältää pitkän luvun "Mapping of simply-connected domains" ja sen perään luvun "Mapping properties of special functions".Sivuilla 280 - 281 määritellään elliptinen funktio sn(z) ja sitten sen avulla elliptinen funktio cn(z) .Sivulla 297 on harjoitustehtävä 5 jossa pyydetään osoittamaan että funktio
w = sqrt((1-cn(z))/ (1 cn(z)))
kuvaa suorakulmion -K < Re(z) < K, -K' < Im(z) < K' yksikköympyrälle l w l < 1.
Ohman
Kiitän.