Miten todistetaan

ei nuita tarvi enää todistaa...

Pitäisi kuulemman aksiomaattisessti osoittaa todeksi.

Et nyt sanonut mistä luvuista on kyse. Kokonaisluvuista,rationaaliluvuista,reaaliluvuista?

Oletan nyt että reaaliluvuista.

Reaaliluvut ovat täydellinen järjestetty kunta.

xy = yx eli kertolaskun vaihdantalaki on aksiooma joten 2 a = a*2 ei kaipaa sen kummempaa todistusta.

a a = a*1 a*1 = a*(1 1) = a*2 . Ensin käytin kertolaskun identiteettilakia x*1 = x ja sitten distribuutiolakia (liitännäisyys) jotka molemmat ovat aksioomeja.

(-2)(-a) = 2a.

Todistan ensin että 0*a = 0.On aksiooma, että x 0 = x (yhteenlaskun identiteettilaki).Siis 0 0 = 0 ja siis a*(0 0) = a*0 ja liitäntälaista seuraa, että a*0 a*0 = a*0.Tästä,yhteenlaskun identiteettilaista ja yhteenlaskun vaihdantalaista seuraa, että a*0 a*0 = 0 a*0.

Nyt tarvitaan yhteenlaskun seuraava laki: Jos a c = b c niin a = b.

Oletetaan siis että a c = b c jolloin (a c) (-c) = (b c) (-c). Yhteenlaskun liitäntälaista seuraa, että a (c (-c)) = b (c (-c)) ja aksiooman x (-x) = 0 avulla tästä seuraa, että a 0 = b 0 ja yhteenlaskun identiteettilaista (aksiooma) x 0 = x seuraa sitten että
a = b.
Jatketaan todistusta. Tuosta äskeisestä seuraa että kun a*0 a*0 = 0 a*0 niin a*0 = 0. Kertolaskun vaihdantalaista (aksiooma) seuraa edelleen että 0*a = 0.

Kertolaskun identiteettilaista,liitäntälaista, aksioomasta x (-x) = 0 ja edellä todistamastani seuraa että a a*(-1) = a*1 a*(-1) = a*(1 (-1))
= a*0 = 0.

Nyt pitää todistaa että jos a b = 0 niin b = -a.Tämä seuraa siitä, että
(a b) -b= 0 (-b) joten a (b (-b)) = -b ja a 0 = -b ja a = -b.

Koska siis a a*(-1) = 0 on a*(-1) = -a = (-1)*a .

Nyt (-a)*b = ((-1)*a) *b = (-1)*(a*b) = -(a*b) ja samoin a*(-b) = -(a*b)

(-2) (-a) = 2*(-(-a)) = 2*a. Puuttuu vielä todistus -(-a) = a.Nyt a (-a) = 0 (aksiooma) . Mutta a (-a) = (-a) a = 0 . Edellä näytin että jos a b= 0 niin b = -a. Näin ollen a = -(-a).

MOT

Ohman