Tämmöinenkin ääriarvotehtävä kuin tässä tuo 10b , eli graniittilohkarejutska, on joskus ollut yo-kirjoituksissa.
http://materiaalit.internetix.fi/fi/opintojaksot/yo/pitkamatematiikka/k96ma
Näyttäisi tulevan väkisinkin kahden tai kolmen muuttujan ääriarvotehtävä ?
http://materiaalit.internetix.fi/fi/opintojaksot/yo/pitkamatematiikka/k96ma
Näyttäisi tulevan väkisinkin kahden tai kolmen muuttujan ääriarvotehtävä ?
Vastaukset 38
Vanhimmat
sanos muuta, on ne yo-tehtävät ainakin joskus olleet ns. haastavia (ennen ne olivat vain vaikeita)
Sääli rikkoa noin hienoa graniittikimpaletta, enkä jaksa pakertaa vastausta. Lähtisin siitä, että koska kappale on elliptisenä paraboloidin kärkenä konveksi, maksimi saavutetaan kun nurkkapisteessä z = 4 - 3x^2 - 2y^2 eikä yhtään vähempää. Tarkastellaan tason x=0 leikkausta kappaleen kanssa, rajakäyrä on siis 2y^2 - 4=z eli y^2 = -z/2 2. Todetaan, että y^2 on lineaarisessa suhteessa särmiön xy-tason pohjapinta-alaan, jolloin tilavuus A/(jokin vakio) on z*y^2 eli z (-z/2 2), joka on parabeli, joka saavuttaa maksiminsa arvolla z=2. Tuosta se sitten varmaan aukeneekin. Katselin tässä EM.jalkapalloa samalla, joten jotain luultavasti meni pieleen:)
Korjataan heti: "rajakäyrä on siis 2y^2 - 4=z" p.o. 2y^2 = 4-z, ei vaikuta, kun jatko on tämän mukainen.
Olipa hauska tehtävä -- tosin ylioppilaskokelaalle aika kauhea. Kirjoitin itse tuolloin keväällä 1996 ja muistaakseni valitsin tuon 10 b:n sijaan 10 a:n eli metaanin sidoskulman laskemisen. Enkä kyllä tainnut selvitä siitäkään täysille pisteille.
Mutta nyt vanhempana ja viisaampana tuo 10 b oli oikein mukava. Kyllä siinä yhden muuttujan differentiaalilaskennalla selviää, sillä särmiön pohjasärmät riippuvat särmiön korkeudesta lohkareen määrittelevän epäyhtälön mukaisesti.
Se 10a oli kyllä melkoisen hankala. Pitkän suttaamisen jälkeen sain sen laskettua, mutta ei olisi kyllä onnistunut yo-kirjoituksissa.
http://aijaa.com/7BFM0H
Tämä ei siis ole mallivastaus.
Se mallivastaus on hyyyyyyyyyvin paljon näppärämpi, helpompi ja lyhyempi. Oliskohan muuten jossakin taulukkokirjassa ollut tieto säännöllisen tetraedrin keskipisteen korkeudesta pohjasta, se olisi helpottanut ?
Tehtävä 10a on todella helppo. Olkoon tetraedrin särmävektorit a, b, c ja d. Tällöin a b c d=0, joten 0=||a b c d||^2=4 2*(4 yli 2) cos theta. Siis theta=arccos(-1/3).
Jos noilla särmävektoreilla tarkoitetaan vektoreita tetraedrin keskipisteestä kärkiin, niin silloin toi pitää paikkansa. Pistetulolla (a b c d)▪(a b c d)=0 voi ainakin osoittaa.
Lyhyt ja näppärä on, ei mikään todella helppo, ainakaan minun mielestäni.
Mistä tuo tieto on saatu, että nollavektorin pistetulo itsensä kanssa on yksikäsitteisesti nolla ?
En löydä mistään tuon määritelmää, ja epäilen ettei sitä edes ole määritelty.
Vektorin normin määritelmästä. Nollavektorin normi on 0, joka on sqrt(nollavektori•nollavektori)=> 0=nollavektori•nollavektori
Ei tuo 10a kovin vaikea ole analyyttisellä geometriallakaan. Tarkastellaan pystyleikkauskolmiota jonka sivut ovat särmä (a), pohjan korkeusjanan pitempi osa (a/sqrt3) ja tetran korkeusjana (a*sqrt(2/3). Sen sisällä on pienempi suorakulmainen kolmio jonka hypotenuusa on tetran kärkipisteen etäisyys keskipisteeseen ja kateetteina em. pohjan korkeusjanan pitempi osa sekä korkeusjana-x. Tuosta pytagoralla yhtälö josta saadaan x. Sen avulla taas saadaan kysytyn kulman suplementtikulman kosini.
Siten se juuri mallivastauksessa on laskettukin, toi loppu tosin sin(alfa/2) yhteydellä.
(Nyttemmin tästä on löytynyt näitä tämäntyylisiä ratkaisuja, jotka eivät käyneet mielessäkään: http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/nishi1.html)
Ei tätä enää kannattaisi paljon rääpiä, mutta laitetaan nyt kuitenkin tuo pistetulon vähän suoraviivaisempi versio, joka perustuu siihen, että säännöllisessä tetraedrissä vektorisumma keskipisteestä kärkiin on nolla. http://aijaa.com/6VYBYq
Helpoimmin menee kai kahdella osittaisdifferentiaaliyhtälöllä. Mutta voi tietysti pitää ensin y vakiona, ja optimoida ensin x suhteen ja sen jälkeen y suhteen.
Mallivastauksessa on vedetty suoraan että V(x,y)=4xy(4-3x^2-2y^2), ja tuosta sitten ehdolla, että molemmat osittaisderivaatat Vx ja Vy oltava yhtä aikaa nollia saadaan tilavuudelle maksimi- ja minimikohdat.
Minimi V, kun x tai y =0
Maksimi V , kun x=sqrt(1/3), y=sqrt(½)=V=8/sqrt(6)
Tuo on kyllä aikamoinen kulttuurisokki yo-kokelaalle, että pitäisi vetää suoraan : Maksimisärmiön korkeus on 4-3x^2-2y^2, siis ilman perusteluita.
Minä tätä yritin perustella parin kuvan kanssa, ja sitten lopun vedin Lagrangen kertoimilla, kun niitä juuri opettelin. (Jos yo-kokelaalta vaaditaan kahden muuttujan ääriarvotehtävän ratkaisua, niin saman tien sitten Lagrangen kertoimiakin.)
http://aijaa.com/UvSVAM
Joo, näköjään jouduin ihan hakoteille omassa ratkaisussani -- piirsin kuvan väärin. Ja ehdin vielä kehua tätä hauskaksi tehtäväksi!-) Aeijan idea näyttää pätevältä.
Täytyy vielä ihmetellä, eikö elementaarisempaa ratkaisua sitten tosiaan löydy.
Lasketaan ääriarvo lausekkeesta
F(x,y,z) =xyz - k (3 x^2 2 y^2 z -4)
yz - 6 k x = 0 , xz - 4 k y = 0 , xy - k = 0
yz - 6 x^2 y = 0 , xz - 4 x y^2 = 0 => z = 6 x^2 = 4 y^2 (x = 0 ja y = 0 eivät tule tässä kyseeseen)
x^2 = 2/3 y^2. Sijoitetaan möhkäleen yhtälöön :
3 (2/3) y^2 2 y^2 4 y^2 -4 = 0 joten y = 1/sqrt(2) , x= 1/sqrt(3), z = 2
ja tilavuus on sqrt(2/3).
On geometrisesti selvä että tämä on maksimi.
Ohman
Sori, unohtui tuo 4:lla kertominen.
Ohman
Jatketaanpa taas aivojumppaa jalkapalloa katsellessa, jottei dementia yllätä. Toissapäiväisen matsin aikana pääsin jo tulokseen, että maksimi saavutetaan arvolla z=2.
Tällöin tason z=2 leikkaus kartion kanssa toteuttaa yhtälön 3x^2 2y^2-2=0, joten etsitään tämän ellipsin sisään piirretyn suorakulmion, eli särmiön pohjan, suurin mahdollinen pinta-ala. Korkeushan on jo vakio, joten tilavuus maksimoituu pohjapinta-alan myötä.
Tuosta saadaan y^2 = 1-3x^2/2, joten pohjan ala A= x*y = x * SQRT(1-3x^2/2) = SQRT (x^2 - 3x^4/2). Koska neliöjuuri on kasvava funktio, se saa maksiminsa kun juurrettava saa maksimin.
Merkitään p= x^2, jolloin juurrettava on parabeli p*(1-3/2*p), Tämän nollakohdat ovat 0 ja 2/3, jolloin maksimi on näiden puolivälissä, eli p:n arvolla 1/3, eli x:n arvolla 1/SQRT(3).
Joten y = SQRT(1-3x^2/2) = SQRT(1-3*(1/3)/2) = SQRT(1/2). Siis sivut ovat x=1/SQRT(3), y=SQRT(1/2) ja z=2.
Jos tämä on oikea vastaus, niin tässä ei tarvittu ainuttakaan differentiaaliyhtälöä, derivointia, eikä edes toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa! Sanoisin kuitenkin tällaisen ratkaisutavan osoittavan kokelaan ymmärtävän 3D-maailmaa ja matematiikkaa kiitettävästi. Tilavuuttakin kysyttiin, mutta jätän tähän.
P.S. Olipa hyvä paikka Portugalilla tehdä maali, mutta veti ohi.
Nimimerkin Laskee päättelytapa on kans jännästi oivallettu.
Johan onkin. "Elliptisenä parapoloidin kärkenä konveksi"."Nurkkapisteessä"."Lineaarisessa suhteessa". Jne. Eri oivallus! Vaan olisiko matematiikkaa?
Onhan siinä pieniä muotoilu- ja kirjoitusvirheitä: "Elliptisenä parapoloidin kärkenä konveksi" p.o. " "Elliptisen paraboloidin kärkenä konveksi" . "Nurkkapisteessä" selvästikin viittaa särmiön nurkkaan, joten se on ok . "Lineaarisessa suhteessa" ehkä paremmin sanottuna "Lineaarisesti riippuva". Kommenttini pointti kuitenkin oli tuossa ratkaisutavassa, kun en oo pilkunviilaaja.
Mitenkä siitä, että möhkäle on konveksi, seuraa, että funktio 4xyz saavuttaa maksimin kun z = 2?Kerropa plusmiinus minullekin kun en itse näytä huomaavan.Kysyn tätä sinulta siksi että tunnuit arvostavan tuotaa Laskeen esitystä ja varmaan siis osaat vastata.Tämä kysymys siis liittyy siihen Laskee-nimimerkin 1. viwstiin.
>Mitenkä siitä, että möhkäle on konveksi, seuraa, että
>funktio 4xyz saavuttaa maksimin kun z = 2?
On vähän höl,öä puolustella kirjoituksiaan, mutta olkoon.
Huutiukko sekoilee tai ei ymmärrä kirjoitettua asiaa väittäessään muuta kuin kirjoitin. Sanoin, että konveksisuudesta seuraa, että maksimi saavutetaan kun nurkkapisteessä z = 4-3x^2-2y^2 (*). en väittänyt, että yksinään siitä seuraisi mainittu z:n arvo.
Perustelu (*). Tehtävässä muistaakseni rajoitettiin (en nyt jaksa tarkistaa) 0 <= z <= 4-3x^2-2y^2. Konveksiudesta seuraa, että jokainen välipiste kaikilla z:n arvoilla tuolla välillä kuuluu alkuperäiseen kappaleeseen, eli särmiö voidaan muodostaa.
Nimimerkki aeija totesi "aikamoinen kulttuurisokki yo-kokelaalle, että pitäisi vetää suoraan : Maksimisärmiön korkeus on 4-3x^2-2y^2, siis ilman perusteluita.", no, esitin perustelun.
Se, miksi maksimi saavutetaan z:n arvolla kaksi, on perusteltu lyhyesti ensimmäisessä vastauksessani. Jos siinä on epäselvää, selvennän sen perustuvan siihen, että yhdenmuotoisilla tasokuvioilla pinta-alojen suhde on jonkin yksidimensionaalisen mitan neliöiden suhde
Voihan höl,ö!
Mitähän "perusteluja" tuo särmiön korkeus oikein vaatii? Jos kerran särmiön kulmapiste on tuolla pinnalla z = 4-3 x^2 -2 y^2 niin toki minkä tahansa tälllaisen särmiön korkeus eli tuo z:n arvo on juuri tuo lauseke.
Minkä tahansa tällaisen särmiön tilavuus on V(x,y)= 4 xyz = 16 xy -12 x^3y - 8 xy^3.
d/dx V(x,y) = 16 y - 36 x^2 y -8 y^3 = 0 . 16 -36 x^2 - 8 y^2 = 0
d/dy V(x,y) = 16 x - 12 x^3 - 24 xy^2 = 0 . 16 -12 x^2 - 24 y^2 = 0
x^2 = 4/3 - 2 y^2. 16 - 48 72 y^2 - 8 y^2 = 0. 64 y^2 = 32 ja y = /-
1/sqrt(2). x = /- 1/sqrt(3) ja z = 4 - 1 - 1 = 2.
V(max) = 8 /sqrt(6) = 4 sqrt(2/3)
Ei tuo nyt kovin hakala lasku ollut näinkään.
Ohman
Ainakaan minun aikanani lukiossa ei ollut puhettakaan mistään pinnoista, eli tuon
0 ≤ z ≤ 4-3 x^2 -2 y^2 käsittäminen joksikin muotopuolimuurahaiskeon pinnaksi olisi ollut täysin ylivoimainen tehtävä.
Minähän jouduin nytkin menemään päällekkäisten ellipsien kautta ennen kuin avautui mitä tuo yleensä tarkoittaa. Siksi tämä minun mielestäni tarvitsee perusteluja, ja vielä kuvien kanssa.
Erikoista. Minun aika lukiossa puhuttiin pinnoista. Laskettiin pyörähdyskappaleiden pinta-aloja ja säännöllisten monitahokkaiden pinta-aloja.
No laskeppa sitten malliksi pallosegmentin pinta-ala.
http://math.stackexchange.com/questions/431627/archimedes-derivation-of-the-spherical-cap-area-formula , toinen tapa osoitteessa http://www.nabla.hr/Z_MemoHU-140.htm
Lukiolaiset integroivat kai aika yksinkertaisia kappaleita. Tuo pallosegmentin pinta-alan laskeminen vaatii hieman enemmän hahmotusta. Helpoin tapa on kai integroida pieniä ympyränrenkaita, jotka ovat kulmassa v pallon keskipisteen ja pallosegmentin keskipisteen yhdistävään janaan nähden. Tuollaisen ympyrärenkaan piiri on 2*pii*r*sinv ja leveys r*dv. Nuo kun integroidaan nollasta rajakulmaan v0 saadaan segmentin alaksi 2*pii*r^2*(1-cosv0).
Laitoin tämän pallosegmentin alan laskemisen ainoastaan sen vuoksi, että pääsen taas kerran esittämään tämän oman laskutapani. Se on aina närästänyt jotakuta, kuinkahan nyt käy: http://aijaa.com/AHXDJq
Nopea heitto tähän näin juhannusaattotunelmissa. Kalotin pinta-alan taitaa saada suoraan ilman integraaleja kertomalla pallon pinta-alan kalotin keskuskulman ja täyden avaruuskulman suhteella.
Kyllä siinä täytyy ottaa sitä kalottia vastaavan keskusavaruuskulman suhde täyteen avaruuskulmaan. Se saadaan keskustasokulman a kautta lausekkeesta 2*pii*(1-cosa).
Siis tuo a on kulma pallokalotin keskipisteestä sen reunaan https://fi.wikipedia.org/wiki/Steradiaani
Sepä se juuri on kalotin keskuskulma. Tässähän puhutaan kalotista eikä tasoleikkaukkauksen määräämän ympyrän segmentistä.
Jos tarkoitetaan avaruuskulmaa, on syytä mainita että kyseessä on avaruuskulma. Nimittäin kolmidimensioisissa koordinaatistoissa, esim napakoordinaatistossa käytetään "tasokulmia".
Näin oli kirjoitettu: "kalotin keskuskulman ja täyden avaruuskulman suhteella".
Aika pölhö pitää olla, jos edes tuosta ei ymmärrä kalotin keskuskulman olevan avaruuskulma.
Alkuperäinen kysymys oli: "No laskeppa sitten malliksi pallosegmentin pinta-ala." Triviaali ratkaisu on tietysti olettaa että segmenttiä vastaava keskusavaruuskulma tunnetaan jolloin pinta-ala saadaan hyvin yksinkertaisesti, eli laskemisessa ei ole mitään haastetta. Mutta eräät muut näyttävät käsittäneen niin että pallosegmentistä (kalotista) tunnetaan esim. korkeus ja pohjaympyrän säde. Tai sitten kalottia vastaavan ympyrän säde ja kalottia vastaava tasokeskuskulma. Silloin kalotin pinta-ala voidaan laskea mutta ei ole yhtä yksinkertaisesti.
Ja olen edelleen sitä mieltä että kulma ja avaruuskulma ovat eri suureita. Wikipedia kertoo seuraavaa: "Kulma eli tasokulma (erotukseksi avaruuskulmasta), on geometriassa kahden säteen väliin jäävän tason osa." Onko wikipedia "aika pölhö"? Ja savulasta kaikkitietävä?