Osoitettava, että
1/(x y 1) 1/(y z 1) 1/(x z 1) <= 1,
kun x, y ja z ovat positiivisia lukuja, joiden tulo x*y*z=1.
1/(x y 1) 1/(y z 1) 1/(x z 1) <= 1,
kun x, y ja z ovat positiivisia lukuja, joiden tulo x*y*z=1.
Epäyhtälöinen
Neropattitilanne
17294
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 17
Vanhimmat
Ensiksi epäyhtälö homogeeniseksi ja sitten suuruusjärjestysepäyhtälöä peliin: http://math.stackexchange.com/questions/1844652/an-inequality-of-three-positive-variables#1844675
Tällekin funktiolle: f(x,y,z)=1/(x y 1) 1/(y z 1) 1/(x z 1)-1 ja side-ehtona xyz=1 on helppo löytää Lagrangen metodilla yksi ainoa ääriarvokohta: x=y=z=1, jolla ääriarvoksi tulee 0.
Mahdollisia muita ääriarvokohtia on epäjatkuvuuskohdat, joita ei ole , koska x,y,z >0. Sitten esim. x=y=½, z=4 tulee funktiolle negatiivinen arvo, jolloin x=y=z=1,sekä funktion arvo 0, on funktion maksimikohta ja -arvo.
(Tämä nyt ei ole se ratkaisu mitä tässä haetaan, mutta en pysty venyyn muuhun)
Koska x,y ja z ovat positiivisia lukuja joiden tulo on vakio eli xyz = 1, keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että summa x y z saavuttaa pienimmän arvonsa kun x=y=z = 1. Tällöin 1/(x y z) saavuttaa pienimmän arvonsa kun x=y=z=1 ja tämä arvo on siis 1/3. Tämä on myös funktioiden
1/(x y 1), 1/(y z 1) ja 1/(z x 1) pienin arvo joten näiden summa <= 1.
MOT
Ohman
Tuli kirjoitusvirhe. 1/(x y z) saavuttaa s u u r i m m a n arvonsa kun x=y=z=1. Tämä on myös noiden kolmen funktion suurin arvo joten niiden summa <= 1.
Sori.Ohman
Ratkaisu ei toimi. Kokeile x=1/10, y=1/10, z=1/100. Nyt 1/(x y z) on noin 4.76 mutta 1/(1 1 1)=1/3<4.76.
Miettisit vähän ennenkuin kommentoit. Sinulla xyz= 10^(-4) mutta sen piti olla = 1 .
Ohman
Tulipa tässä vielä mieleeni epäilys tuosta todistuksestani. Vaikka x y z saavuttaa pienimmän arvonsa kun x=y=z= 1 (ehdolla xyz = 1) niin saavuttaako esim. x y 1 pienintä arvoaan tällöin?
Kirjallisuudesta löysin tällaisen epäyhtälön:
Olkoot a,b ja c positiivisia reaalilukuja ja abc = 1. Tällöin
1/(1 a b) 1/(1 b c) 1/(1 c a) <= 1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c)
Eli mahtaako tehtävän epäyhtälö olla tosi? Miksi tuo nyt kirjoittamani olisi annettu tuossa muodossa eikä yksinkertaisemmassa alkuperäisen tehtävän muodossa jos se alkuperäinen on tosi?
Enpä nyt ryhdy yötä myöten miettimään asiaa.
Ohman
Ei saavuta. Jos x=y=z=1, on xyz=1 ja x y 1=3. Mutta jos x=1/2, y=1/2, z=4, on xyz=1 ja x y 1=2.
Näin on, siltä minustakin rupesi tuntumaan mutta enpä yöllä viitsinyt ruveta asiaa enemmälti miettimään.
Tuosta viimeksi mainitsemastani epäyhtälöstä voidaan jatkaa ja todistaa, että jos abc = 1 niin
1/(2 a) 1/(2 b) 1/(2 c) <= 1 joten aloittajan epäyhtälö on tosi.
Ihmettelin, miksi tuo välimuoto on annettu. Onhan se tietenkin tarkempi arvio kuin <= 1 mutta yhtä hyvinhänhän sitten voi jo laskea tarkankin arvon kun a,b ja c on annettu. Mutta ehkä tuosta välimuodosta on joissain muissa todisteluissa hyötyä.
Ohman
1/(x y 1) 1/(y z 1) 1/(x z 1) <= 3/(x y z)=<1.
Ensimmäinen epäyhtälö seuraa suuruusjärjestysepäyhtälöstä ja toinen aritmeettis-geometrisesta epäyhtälöstä.
Tarkoittaako tuo suuruusjärjestysepäyhtälö sitä mitä englanniksi kutsutaan nimellä " the rearrangement inequality"?
Tuo jälkimmäinen epäyhtälö on itsestään selvä mutta laitahan nyt vähän välivaiheita miten tuo 1. epäyhtälö saadaan. Esityksesi jää muussa tapauksessa vähän turhan lakoniseksi ja teetät lukijalla työt vaikka olisit voinut esittää koko ajatusketjun.
Hmm. koetin kysyä mutta mielestäni asia todistettiin väärään suuntaan vaikka itse kokeilin numeerisesti, että epäyhtälötaiturin esittämä epäyhtälö on voimassa: http://math.stackexchange.com/questions/1846776/inequality-of-three-variables Onko tuossa linkissä olevassa ratkaisussa virhe?
Eiköhän tuo epäyhtälötaituri nyt vaan vähän juksannut ja laittoi mutkat suoriksi...
Näytin eilen numeerisella esimerkillä x=y= 1/2, z = 4, että Epäyhtälötaiturin todistelu ei pidä paikkaansa. Nyt tuo kommenttini on hävinnyt ja kerrotaan siltä paikalta poistetun viestin sääntöjenvastaisena!
Onko puhdas aritmeettinen esitys tällä palstalla sääntöjen vastaista?
Onko humpuukin osoittaminen humpuukiksi aritmeettisella esimerkillä sääntöjen vastaista?
Mitä ihmettä tämä tarkoittaa?
Ohman
Eipähän tuolle poistolle taida olla perustetta. Mutta on kai niin että jos joku ehdottaa poistoa, se tehdään ilman enempää harkintaa.
Outoa tässä on se, että tekstissäni ei ollut pienintäkään aihetta poistamiseen. Aritmetiikan lisäksi ei ollut kuin muutama sana joissa niissäkään ei takuulla ollut mitään ketään loukkaavaa,
Voiko siis joku, jonka esitys esimerkillä tyrmätään, noin vain pyytää poistoa ? Tällöinhän ei minkäänlaisten virheitten esille tuominen olisi välttämättä mahdollista jos kerran virheen tekijä voi yksinkertaisesti poistattaa korjauskommentit ilman enempiä perusteluja.
Pyysin kerran aiemmin poistamaan viestin jossa selvästi asiamattomasti höpösteltiin teksteistäni. Mutta tämä ei kyllä johtanut mihinkään. Sinne ne herjat jäivät jököttämään. Niin että ei tuo poisto ihan automaattista ole.
En nyt viitsisi tällaisesta asiasta muuten jankuttaa mutta kun tuon viestini poisto on tosiaan erittäin kummallinen. Eihän siinä ollut muuta kuin rationaalilukujen laskutoimituksia!
Ohman
Katsotaanpa nyt poistetaanko tämäkin. Ne jotka ennättävät lukea voivat sitten miettiä poiston aiheellisuutta.
Epäyhtälötaituri väitti, että 1/(x y 1) 1/(y z 1) 1(z x 1) <= 3/(x y z) kun xyz = 1.
Olkoon x=y=1/2 ja z = 4. xyz = 1.
1/(1/2 1/2 1) 1/(1/2 4 1) 1/(4 1/2 1) = 1/2 4/11 = 19/22.
3/(1/2 1/2 4) = 3/5 ja tämä luku on pienempi kuin 19/22.
Epäyhtälötaiturin epäyhtälö ei siis pidä paikkaansa.
Mistähän sensuuri löytää poiston aiheen? Tämä viestini on ihan saman sisältöinen kuin tuo poistettukin!
Ohman