Harjoittelemme integrointia differentiaaliyhtälöiden ratkaisemista varten. En käsitä, minkä virheen teen seuraavassa tehtävässä. Löytäisikö joku tarkkasilmäinen?
integroi sqrt(1-sqrt(x)), sijoittamalla t = sqrt(x)
tällöin x = t^2 ja x' = 2*t
tulee integraali sqrt(1-t)*2*t dt
josta osittaisintegroinnilla
2*t*(-2/3)*(1-t)^3/2 - integraali 2*(-2/3)*(1-t)^3/2 dt
ajattelin siis uv' = uv - integraali u'v
ja v' olisi tässä sqrt(1-t)
Tuon integraali 2*(-2/3)*(1-t)^3/2 dt ajattelin ratkaista siten, että kerron sen 3/4, jolloin se tulee muotoon f(x)*f'(x), sitten vien tasapainottavan kertoimen 4/3 integraalimadon eteen.
lopulta syntyy muoto , kun f(x) täydennetään
-4/3*t(1-t)^3/2 - 4/3*2/5*(1-t)^5/2 C
= -4/3*t(1-t)^3/2 - 8/15*(1-t)^5/2 C
= -4/3*sqrt(x)(1-sqrt(x))^3/2 - 8/15*(1-sqrt(x))^5/2 C
mutta joka ei anna oikeaa arvoa esim x:n arvolla 5
koska oikea vastaus on annettu ja se on
-4/15*(1-sqrt(x))^3/2(3*sqrt(x) 2) C
Missä teen virheen? Eikö f(x) pidä täydentää.
Tämä asia vaivaa todella paljon, koska en löydä virhettä
integroi sqrt(1-sqrt(x)), sijoittamalla t = sqrt(x)
tällöin x = t^2 ja x' = 2*t
tulee integraali sqrt(1-t)*2*t dt
josta osittaisintegroinnilla
2*t*(-2/3)*(1-t)^3/2 - integraali 2*(-2/3)*(1-t)^3/2 dt
ajattelin siis uv' = uv - integraali u'v
ja v' olisi tässä sqrt(1-t)
Tuon integraali 2*(-2/3)*(1-t)^3/2 dt ajattelin ratkaista siten, että kerron sen 3/4, jolloin se tulee muotoon f(x)*f'(x), sitten vien tasapainottavan kertoimen 4/3 integraalimadon eteen.
lopulta syntyy muoto , kun f(x) täydennetään
-4/3*t(1-t)^3/2 - 4/3*2/5*(1-t)^5/2 C
= -4/3*t(1-t)^3/2 - 8/15*(1-t)^5/2 C
= -4/3*sqrt(x)(1-sqrt(x))^3/2 - 8/15*(1-sqrt(x))^5/2 C
mutta joka ei anna oikeaa arvoa esim x:n arvolla 5
koska oikea vastaus on annettu ja se on
-4/15*(1-sqrt(x))^3/2(3*sqrt(x) 2) C
Missä teen virheen? Eikö f(x) pidä täydentää.
Tämä asia vaivaa todella paljon, koska en löydä virhettä
Vastaukset 5
Vanhimmat
"tulee integraali sqrt(1-t)*2*t dt
josta osittaisintegroinnilla
2*t*(-2/3)*(1-t)^3/2 - integraali 2*(-2/3)*(1-t)^3/2 dt"
Jos valitaan f'(t) := sqrt(1-t) ja g(t) := t, niin osittaisintegrointikaavan ∫ f'g dx = fg - ∫ g'f dx mukaan tuosta tulee
∫ sqrt(1-t) dt * t - ∫ ∫ sqrt(1-t) dt dt
= -(2/3)(1-t)^(3/2)*t - ∫ -(2/3)(1-t)^(3/2) dt
= -(2/3)(1-t)^(3/2)*t - (4/15)(1-t)^(5/2)
= -(2/15)(2 3t)(1-t)^(3/2)
Kun sijoitetaan t = sqrt(x) ja koko hoidon eteen kerroin 2 (valittiin g(t) = t eikä g(t) = 2t), niin tuosta tulee
I = -(4/15)(2 3sqrt(x))(1 - sqrt(x))^(3/2) C
...joka on sama kuin -4/15*(1-sqrt(x))^3/2(3*sqrt(x) 2) C olettaen, että sulut eksponentin ympäriltä ovat vahingossa jääneet pois (nythän tuossa korotetaan kolmanteen ja kaetaan koko häkkyrä 2(3*sqrt(x) 2):lla).
Virhe oli siis ilmeisesti osittaisintegroinnissa.
Se vika ei ollut osittaisintegroinnissa. Tiedän, että otit x' = 2t:sta 2 ulkopuolelle. Minäkin yritin sitä. Huomasin, että sain lopulta muunnettua oman yritteeni asianmukaiseen muotoon seuraavasti:
(1-t)^(3/2)*((-4/3)*t - (8/15)(1-t))
[(i - t)^(5/2) = (1-t)^3/2 * (1-t)]
(1 - t)^(3/2)*(-4/5*t - 8/15)
lavennetaan -4/5 kolmella
(1-t)^(3/2)(-12/15*t - 8/15)
(-4/15)*(2-3*t)(1-t)^3/2
ja sitten t:n paikalle sqrt(x)
Huomasin myöhemmin, että vaikka oma tapani tasapainottaa oli oikea olisi sen pystynyt tekemään tehokkaammin.
arvolla 5 ero oli niin vähäinen, että vika oli todennäköisesti laskimessa koska tuloksestani saa todella muunnettua vastausmuodon.
Kiitos kuitenkin
Hei
En ole vielä käsitellyt ollenkaan osittaisintegrointia, mutta tuli mieleen että voisiko ongelmasi olla tuossa sijoituksessa t = sqrt(x)? Tehdessä tällaisia sijoituksia derivoitaviin/integroitaviin funktioihin voi esiintyä ongelmia.
Esim.
1.
D(sqrt(2x 1)) = 2/2sqrt(2x 1)
2.
merkitään t = 2x 1
D(sqrt(t)) = 1/2sqrt(t)
sij. t= 2x 1
1/2sqrt(t) = 1/2sqrt(2x 1)
Näin siis saatiin eri derivaattafunktiot. Derivoitavana siis olisi pitänyt olla x eikä t.
Sisäfunktiota 2x 1 ei siis derivoitu jälkimmäisessä ollenkaan.
Anteeksi, jos tämä ei ollut vikana. En tarkkaan lukenut viestiäsi, mutta päätin heittää kommentin, sillä tämä on sellainen asia, jossa itse teen usein virheitä.
esimerkiksi 2 olit ottanut:
"merkitään t = 2x 1
D(sqrt(t)) = 1/2sqrt(t)
sij. t= 2x 1
1/2sqrt(t) = 1/2sqrt(2x 1)"
Kuitenkin unohdit että kun tehdään jokin sijoitus
t=t(x) eli tässä tapauksessa t=2*x 1
niin tällöin derivaatta f(t(x)) on
f´(t(x))*t`(x) siis tässä tapauksessa
D(sqrt(t))=1/2*(1/(sqrt(t)))*2 jossa tuo
viimeinen kakkonen on se t`(x).
Eli mitään ristiriitaa ei ole.
Noinhan se toki menee jos sijoitus tehdään oikein. Tarkoitus olikin näyttää kuinka homman voi tehdä pieleen jos ei huomioi t:n derivaatta.
Tällaisia kikkojahan käytetään monesti yhtälönratkaisussa.
Itse asiassa tuossa alkuperäisessä viestissä melkein näyttäisi olevan sijoitus, josta näytin esimerkin.